Λοταρια αποδειξεων

[Hapatingo]

Θα γινει μια τελευταια κληρωση τον Ιανουαριο που θα αφορα τις αγορες Δεκεμβριου. Απο εκει και μετα δεν γνωριζουμε αν θα συνεχιστει η λοταρια, καθως με τους ιδιους ορους, το κρατος θα πρεπει να βρει και να διαθεσει επιπλεον €12 εκ. για τις κληρωσεις του 2018.

 

Άρα πάμε σε εκλογές με άλλα λόγια.

[skiabox]

Για να καταλάβετε πόσο ουγκάντα είμαστε ακόμη αντιστοιχεί μία πράξη με κάρτα σε κάθε Έλληνα για όλο το 2017.

[fastnq2]

https://www.newsbeast.gr/greece/arthro/3138984/dio-aderfes-apo-tin-kriti-kerdisan-1000-evro-stin-lotaria

newsbeast βεβαια 

 

 

Για να καταλάβετε πόσο ουγκάντα είμαστε ακόμη αντιστοιχεί μία πράξη με κάρτα σε κάθε Έλληνα για όλο το 2017.

wot?

[Βασίλης_29]

Άρα πάμε σε εκλογές με άλλα λόγια.

 

 

Μέσα στο 18 κατά 90% θα γίνουν, γιατί το 19 έχουμε δημοτικές εκλογές και ευρωεκλογές, δεν νομίζω να πάρουν το ρίσκο να διεξάγουν τρεις εκλογικές αναμετρίσεις σε ένα έτος, γενικά έχει να γίνει χαμός αν το κάνουν και θα υπάρχει αναβρασμός για όλο το έτος σχεδόν όπως έγινε το 15.

 

[RcManiac]

Κέρδισα στην κλήρωση του Οκτωβρίου. Σε 3 βδομάδες μου τα έβαλαν στο IBAN που δήλωσα στο taxisnet.

 

 

[fastnq2]

Κέρδισα στην κλήρωση του Οκτωβρίου. Σε 3 βδομάδες μου τα έβαλαν στο IBAN που δήλωσα στο taxisnet.

 

test.png

 

lul.png

Απιστευτο κ ομως αληθινο..Πες μου οτι ειχες 3 λαχνους η αλλιως 3 ευρω συναλλαγες?

[RcManiac]

389 Λαχνούς - 5 συναλλαγές, κυρίως σε supermarket 

[agamoi-thytai]

Γκρεμίστηκε ο κόσμος μου.

Μέχρι τώρα πίστευα πως είναι ψέμα.

[logistoulis]

Βρήκα κι εγώ γνωστό μου άτομο που κέρδισε

 

Τα λεφτά πάνε στα λεφτά τελικά..

[tristeza]

Ακριβώς. Η θεωρία πιθανοτήτων λειτουργεί λίγο διαφορετικά απ' το μυαλό μας.

Με  τον ίδιο τρόπο που υπολόγισες ότι το αποτέλεσμα της κλήρωσης είναι τόσο απίθανο ώστε να θεωρείται ύποπτο, δοκίμασε να υπολογίσεις για παράδειγμα, πόσες πιθανότητες υπάρχουν να βρεθούν 2 άτομα με κοινά γενέθλια ανάμεσα σε 23 ανθρώπους. Κάνε μια μαντεψιά πριν το ψάξεις στο Internet. Δεν λέω ότι αυτό αποδεικνύει την αξιοπιστία της κλήρωσης. Θεωρώ ισχυρότερο το επιχείρημα που έγραψα σε προηγούμενο post. Ότι δηλαδή, η κυβέρνηση έχει πολύ ευκολότερους τρόπους να κλέψει 10 εκατομμυριάκια.

 

Πράγματι υπάρχουν ομοιότητες με το πρόβλημα των γενεθλίων και τα μαθηματικα από πίσω του είναι παρόμοια. Μάλιστα, αν δεν υπήρχαν λαχνοί, τα δύο προβλήματα θα ήταν ισοδύναμα. Οι λαχνοί και κάποιες ακόμα συνθήκες καθιστούν αρκετά δύσκολο το να γίνουν ακριβείς προβλέψεις.

1) Οι παίκτες δεν έχουν όλοι την ίδια πιθανότητα νίκης σε μια δεδομένη κλήρωση, αλλά η πιθανότητα εξαρτάται από τους λαχνούς που έχει ο καθένας.

2) Οι λαχνοί ενός παίκτη, άρα και η πιθανότητα που έχει να κερδίσει, μπορεί να μεταβάλλονται από κλήρωση σε κλήρωση. Ειδικότερα, η πληροφόρηση που έχουμε για την κατανομή των λαχνών είναι ελλιπέστατη. Υπάρχουν παίκτες που δε συμμετέχουν καν σε όλες τις κληρώσεις.

3) Αναζητούμε όχι μόνο την πιθανότητα να υπάρχουν πολλαπλοί νικητές, αλλά και την πιθανότητα να υπάρχουν παίκτες με τρεις νίκες. Αυτό ακόμα και στο πρόβλημα των γενεθλίων είναι απαιτητικό. 

 

Από ότι βλέπω οι συζητήσεις περιστρέφεται γύρω από τα ερωτήματα:

Α) Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν πολλαπλοί νικητές μετά από 11 κληρώσεις;

Β) Πόσους πολλαπλούς νικητές περιμένουμε μετά από 11 κληρώσεις;

Γ) Ποια η πιθανότητα να υπάρχει παίκτης με τουλάχιστον 3 νίκες μετά από 11 κληρώσεις;

Δ) Πόσους παίκτες περιμένουμε να έχουν τουλάχιστον 3 νίκες μετά από 11 κληρώσεις;

Ε) Πόσο φάρδος αυτός με τα 3.7 ευρώ;

 

Η κατανομή που περιγράφει αυτή τη λοταρία είναι μια ειδική περίπτωση της κατανομής του Wallenius. Το πρόβλημα με την εν λόγω κατανομή είναι ότι στην περίπτωση που η κλήρωση γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση (όπως στην περίπτωσή μας δηλαδή), είναι πρακτικά αδύνατο να δοθεί αλγεβρική λύση. Ο λόγος είναι ότι οι υπάρχουσες αλγεβρικές προσεγγίσεις βασίζονται σε αριθμητικές μεθόδους που είναι εξαιρετικά ευαίσθητες στην αρχική κατανομή των λαχνών. Ενδεικτικά, το implementation για την R συμβουλεύει το πλήθος των χρωμάτων να μην υπερβαίνει το 32 και στην περίπτωσή μας είναι 4.3 εκατομμύρια. Οπότε αναγκαστικά θα βασιστούμε σε simulations για να βγάλουμε συμπεράσματα, το οποίο είναι και ο κανόνας πλέον σχεδόν για οποιοδήποτε πρακτικό πρόβλημα.

 

Τα σπόιλερ περιέχουν μαθηματικά.

 

Μια ενδιαφέρουσα απλούστευση είναι να υποθέσουμε ότι δεν υφίσταται ο περιορισμός 1) καθώς και ο 2). Δηλαδή να υποθέσουμε ότι οι παίκτες έχουν όλοι την ίδια πιθανότητα να κερδίσουν. Αυτό δεν περιγράφει την πραγματικότητα μεν, αλλά από την άλλη μας οδηγεί σε ένα ασφαλές κάτω φράγμα για την πιθανότητα να υπάρχουν πολλαπλοί νικητές. Επίσης μπορεί να υπολογιστεί αλγεβρικά με τον ακόλουθο τρόπο: 

 

 

 

 Ακόμη και σε αυτή την περίπτωση περιμένουμε περίπου 13 πολλαπλούς νικητές μετά από 11 κληρώσεις.  Από λάθος μου έβαλα 4.2 αντί για 4.3 (τον μ.ο. των συμμετεχόντων σε κάθε κλήρωση), αλλά δεν επηρρεάζεται ιδιαίτερα το αποτέλεσμα. 

 

Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ότι στην περίπτωση που επιτρέψουμε πολλαπλούς νικητές και στον ίδιο μήνα, τότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα των γενεθλίων. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον προσεγγιστικό τύπο με το 4.3 εκατομμύρια στη θέση του 365 και για Ν=11000, βρίσκουμε ότι η πιθανότητα να υπάρξει παίκτης με 3 νίκες είναι περίπου 1.1%, ενώ η πιθανότητα για παίκτη με 2 νίκες είναι 99.99% (το οποίο συμφωνεί με τα παραπάνω).  

 

Γενικά όλες οι προβλέψεις που κάναμε με το απλό μοντέλο περιμένουμε να είναι μικρότερες από το τι συμβαίνει στην πραγματικότητα. Ο λόγος είναι ότι στην πραγματικότητα ο κάθε παίκτης μπαίνει στην κλήρωση έχοντας λαχνούς. Διαισθητικά περιμένουμε οι παίκτες που μπαίνουν συστηματικά με πολλούς λαχνούς να έχουν και μεγαλύτερη πιθανότητα να νικήσουν παραπάνω από μία φορά. Αυτό δεν ήταν εφικτό στο προηγούμενο μοντέλο, αφού όλοι έμπαιναν με τον ίδιο αριθμό λαχνών.

 

Δυστυχώς δε γνωρίζουμε την αρχική κατανομή των λαχνών οπότε θα αναγκαστούμε να κάνουμε μερικά educated guesses. Γνωρίζουμε ότι κατά μ.ο. 4.3 εκατομμύρια παίκτες, που συνολικά αντιστοιχούν σε 1δις λαχνούς, συμμετέχουν σε κάθε κλήρωση. Επίσης γνωρίζουμε την κατανομή τριών πληθυσμιακών ομάδων μέσα στους νικητές, λόγω της πληροφορίας ότι 1.548 τυχεροί λαχνοί αντιστοιχούν σε μηνιαίες συναλλαγές από 3,70 € έως 200 €, οι 6.057 λαχνοί σεσυναλλαγές μεταξύ 200,01 € και 1.000 €, ενώ 3.395 τυχεροί λαχνοί προέρχονται από μηνιαίεςσυναλλαγές άνω των 1.000 €.

 

Ονομάζουμε τις ομάδες αυτές Α, Β, Γ. Για τις ομάδες Α και Β εκτιμούμε το μέσο πλήθος των λαχνών που αντιστοιχούν στους νικητές ως το μέσο του διαστήματος στο οποίο παίρνουν τιμές πχ. τα άτομα που νίκησαν και ανήκουν στην ομάδα Α γνωρίζουμε ότι έχουν λαχνούς στο διάστημα [3, 150]. Για την ομάδα Γ δε γνωρίζουμε τα άκρα του διαστήματος οπότε αφήνουμε προς το παρόν το πλήθος των λαχνών που αντιστοιχούν σε αυτή την ομάδα άγνωστο. Βάση των πληροφοριών που έχουμε μπορούμε να κάνουμε μια εκτίμηση για τους αρχικούς πληθυσμούς των ομάδων, καθώς και των λαχνών τους:

 

 

 

Η αρχική κατανομή των λαχνών μας μοιάζει κάπως έτσι:

 

 

Εν συνεχεία προσομοιώνουμε την κλήρωση. Κάνουμε 2 ειδών προσομοιώσεις. Η πρώτη γίνεται με επανατοποθέτηση και η δεύτερη χωρίς. Οι κληρώσεις που έγιναν στην πραγματικότητα ήταν χωρίς επανατοποθέτηση, αλλά αυτή η διαδικασία είναι αρκετά χρονοβόρα στην προσομοίωσή της και διαρκεί 60 φορές περισσότερο από την άλλη. Λαμβάνοντας υπόψιν τους χρόνους, έκανα 1000 επαναλήψεις στην πρώτη και 50 στη δεύτερη. Ο κώδικας στην R είναι 

library(descr)
library(qpcR)
U2 =runif(4300000)
rand.samples2 = rep(NA,4300000)  # We choose the initial population
for(i in 1:4300000){      # and distribute the lottery tickets according to our prior distributions
if(U2[i]<.434){
        rand.samples2[i] = rbeta(1,2,25)
    }else if(U2[i]<.86){
        rand.samples2[i] = rbeta(1, 3,7)
    }else{
        rand.samples2[i] = rbeta(1,5.33,5)
    }}

onedrawReplacement2 <- function(N, prob) {  #Simulation of one draw with replacement
  f1<-sample(N, 1000, prob, replace=TRUE)
  f1}
manydrawsReplacement2<-function(times, N, prob){  #Simulation of |times|-draws with replacement
dd<-replicate(times, onedrawReplacement2(N, prob))
freq(freq(dd)[,1])}
test2<-manydrawsReplacement2(11, 4300000, rand.samples2)[,1]   # We simulate 11 rounds
for (j in 1:999){                                              # We simulate 1000 draws of 11 rounds each
test2<-qpcR:::cbind.na(test2,manydrawsReplacement2(11, 4300000, rand.samples2)[,1])}  #and store the data in the matrix test2
summary(test2[2,])    # Stats for the two-time winners (mean, max, min etc.)
sd(test2[2,])         # Standard deviation for the two-time winners
length(test2[2,])     # Total number of simulations
sum(test2[4,]<55)     # Number of three-time winners
sum(test2[4,]==1)     # Number of draws with exactly one three-time winner

αλλάζοντας την τιμή από TRUE σε FALSE, αλλάζουμε και το είδος της προσομοίωσης.

 

 

 

 

Ένα πιο ρεαλιστικό μοντέλο θα ήταν το εξής: Κάθε παίκτης i να μήν έχει τον ίδιο αριθμό λαχνών Λ_i κάθε μήνα, αλλά σε κάθε μήνα τραβάει έναν αριθμό από μια κατάλληλη prior με μέση τιμή Λ_i. Σε κάποιες κληρώσεις μπορεί και να μη συμμετέχει καθόλου (όπως και συνέβη). Αυτό προϋποθέτει κι άλλες εκτιμήσεις για τις prior και επίσης αυξάνει περαιτέρω το χρόνο εκτέλεσης, οπότε δεν το εξέτασα.  

 

Τα αποτελέσματα: 

α) Από τις 1000 προσομοιώσεις με επανατοποθέτηση, ο μέσος αριθμός παικτών με δύο νίκες είναι 23.2 και η διασπορά 4.8. Η πιθανότητα να πάρουμε τιμή μεγαλύτερη από 28 είναι 13.7%. Θυμίζω ότι στην κλήρωση του υπουργείου ο αριθμός ήταν 29, το οποίο δεν αντιβαίνει με τις εκτιμήσεις που πήραμε. 

Η σχετική συχνότητα των παικτών με 3 νίκες είναι 3.9%. Αυτή είναι αρκετά μεγαλύτερη από όσο θα πίστευε κανείς,αλλά και πάλι δεν είναι αρκετή ώστε να είναι εύλογο το να δώσει 4 παίκτες με τρεις νίκες ταυτόχρονα. Στην προσομοίωσή μας εμφανιζόταν πάντα το πολύ ένας παίκτης με 3 νίκες.

 

β) Στις 50 προσομοιώσεις χωρίς επανατοποθέτηση, ο μέσος αριθμός παικτών με 2 νίκες είναι 21.6 με τη διασπορά στο 4. Επίσης βρέθηκαν 2 παίκτες με τρεις νίκες, το οποίο δίνει πάλι μια εκτίμηση της τάξης του 4% για τη συγκεκριμένη πιθανότητα.

 

 

Τελος, για το ότι κάποιος παίκτης κέρδισε με 3.7 ευρώ, δεν είναι τόσο εντυπωσιακό όσο φαίνεται, αν αναλογιστούμε πόσοι παίκτες μπαίνουν στην κλήρωση με ψιλοαγορές αξίας λιγότερης των 10 ευρώ/μήνα. Αν δούμε τα δεδομένα του τυχαίου δείγματος για τον πληθυσμό που τραβήξαμε, υπολογίζουμε ότι η πιθανότητα μετά από 11 κληρώσεις να υπάρχει νικητής με λιγότερα από 4 ευρώ αγορών (το οποίο και συνέβη) είναι ίση με 18% ενώ με λιγότερα από 7ευρώ είναι 64%.  

Κατά τη γνώμη μου η πραγματική πιθανότητα είναι αρκετά μεγαλύτερη και βγαίνει μόνο 18% για λόγους που δεν ήταν σκόπιμο να ληφθούν υπόψιν όταν έχτισα την prior της ομάδας Α. 

 

 

TL;DR

 

 Πολλαπλοί νικητές: Είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα εμφανίζονται πολλαπλοί νικητές ήδη από τις πρώτες κληρώσεις, πόσο μάλλον μετά από 11. Η πιο συντηρητική θεωρητική πρόβλεψη δίνει τουλάχιστον 13 πολλαπλούς νικητές, ενώ οι προσομοιώσεις δίνουν περίπου 23. Ο αριθμός που παρατηρήθηκε στην πραγματικότητα (29) συνάδει με τα παραπάνω.

 

Παίκτες με τρεις νίκες:   Η πιθανότητα να εμφανιστεί κάποιος με 3 νίκες είναι μεγαλύτερη από ότι νομίζουν οι περισσότεροι. Οι προσομοιώσεις τη βγάζουν στην τάξη του 4%, αλλά ακόμη και έτσι, ρεαλιστικά, δε δίνει 4 παίκτες. Από όλες τις καχυποψίες που εκφράστηκαν, η μόνη που φαίνεται να έχει βάση είναι όχι το ότι βρέθηκε παίκτης με τρεις νίκες, αλλά το ότι βρέθηκαν τέσσερις τέτοιοι παίκτες. Όμως με τις προσομοιώσεις να είναι τόσο ευαίσθητες στα αρχικά δεδομένα δεν μπορούμε να πούμε με σιγουριά κάτι χωρίς επιπλέον πληροφόρηση.

 

Ο τύπος με τα 3.7 ευρώ: Από τη δική του οπτική, όντως είναι σαν να του έκατσε το λαχείο, αλλά αν το δούμε συνολικά είναι αναμενόμενο ότι θα υπήρχε κάποιος νικητής με ελάχιστους (1-10) λαχνούς. Για την ύπαρξη νικητή με λιγοτερους από τέσσερις λαχνούς, η πιθανότητα είναι της τάξης του 18%, αλλα και εδώ ο αριθμός εξαρτάται πολύ από την αρχική κατανομή των λαχνών.

[CheOnWeb]

χαχαχαχα γιά αυτό κακάριζαν γελώντας  ολη μέρα σήμερα οι κότες κ οι γαλοπούλες στό κοτέτσι γειτονά μου .....

4 ιδια ατομα κέρδισαν από 1.000 euro σέ 3 διαφορετικές κληρώσεις μεταξύ τών 10 πού εγιναν ...

ενώ 29 τυχεροι κέρδισαν από 2 φορές 1000 euro ...πάλι σέ 10 κληρώσεις πού εγιναν...

χαχαχαχα καλά μάς περνάνε γιά τελείως @αλάκες ,ουτε τά προσχήματα δέν κρατούν...

ανάμεσα σέ 11.315 δίς  λαχνούς .....χαχαχαχα...    

δέν νομίζω τό υπουργείο οικον/κών νά εχει αντίρρηση νά μάθουμε δημοσίως τά στοιχεία αυτών πού κέρδισαν (συνολικά 33 ατομα ειναι 4+29= 33 μαζί μέ τό αφμ τους ...

η φοβούνται προσωπικά δεδομένα κ τρίχες κατσαρές η φοβούνται απαγωγή ??? από εγκληματικά στοιχεία ...  

 

 

 

Πράγματι υπάρχουν ομοιότητες με το πρόβλημα των γενεθλίων και τα μαθηματικα από πίσω του είναι παρόμοια. Μάλιστα, αν δεν υπήρχαν λαχνοί, τα δύο προβλήματα θα ήταν ισοδύναμα. Οι λαχνοί και κάποιες ακόμα συνθήκες καθιστούν αρκετά δύσκολο το να γίνουν ακριβείς προβλέψεις.

1) Οι παίκτες δεν έχουν όλοι την ίδια πιθανότητα νίκης σε μια δεδομένη κλήρωση, αλλά η πιθανότητα εξαρτάται από τους λαχνούς που έχει ο καθένας.

2) Οι λαχνοί ενός παίκτη, άρα και η πιθανότητα που έχει να κερδίσει, μπορεί να μεταβάλλονται από κλήρωση σε κλήρωση. Ειδικότερα, η πληροφόρηση που έχουμε για την κατανομή των λαχνών είναι ελλιπέστατη. Υπάρχουν παίκτες που δε συμμετέχουν καν σε όλες τις κληρώσεις.

3) Αναζητούμε όχι μόνο την πιθανότητα να υπάρχουν πολλαπλοί νικητές, αλλά και την πιθανότητα να υπάρχουν παίκτες με τρεις νίκες. Αυτό ακόμα και στο πρόβλημα των γενεθλίων είναι απαιτητικό. 

 

Από ότι βλέπω οι συζητήσεις περιστρέφεται γύρω από τα ερωτήματα:

Α) Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν πολλαπλοί νικητές μετά από 11 κληρώσεις;

Β) Πόσους πολλαπλούς νικητές περιμένουμε μετά από 11 κληρώσεις;

Γ) Ποια η πιθανότητα να υπάρχει παίκτης με τουλάχιστον 3 νίκες μετά από 11 κληρώσεις;

Δ) Πόσους παίκτες περιμένουμε να έχουν τουλάχιστον 3 νίκες μετά από 11 κληρώσεις;

Ε) Πόσο φάρδος αυτός με τα 3.7 ευρώ;

 

Η κατανομή που περιγράφει αυτή τη λοταρία είναι μια ειδική περίπτωση της κατανομής του Wallenius. Το πρόβλημα με την εν λόγω κατανομή είναι ότι στην περίπτωση που η κλήρωση γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση (όπως στην περίπτωσή μας δηλαδή), είναι πρακτικά αδύνατο να δοθεί αλγεβρική λύση. Ο λόγος είναι ότι οι υπάρχουσες αλγεβρικές προσεγγίσεις βασίζονται σε αριθμητικές μεθόδους που είναι εξαιρετικά ευαίσθητες στην αρχική κατανομή των λαχνών. Ενδεικτικά, το implementation για την R συμβουλεύει το πλήθος των χρωμάτων να μην υπερβαίνει το 32 και στην περίπτωσή μας είναι 4.3 εκατομμύρια. Οπότε αναγκαστικά θα βασιστούμε σε simulations για να βγάλουμε συμπεράσματα, το οποίο είναι και ο κανόνας πλέον σχεδόν για οποιοδήποτε πρακτικό πρόβλημα.

 

Τα σπόιλερ περιέχουν μαθηματικά.

 

Μια ενδιαφέρουσα απλούστευση είναι να υποθέσουμε ότι δεν υφίσταται ο περιορισμός 1) καθώς και ο 2). Δηλαδή να υποθέσουμε ότι οι παίκτες έχουν όλοι την ίδια πιθανότητα να κερδίσουν. Αυτό δεν περιγράφει την πραγματικότητα μεν, αλλά από την άλλη μας οδηγεί σε ένα ασφαλές κάτω φράγμα για την πιθανότητα να υπάρχουν πολλαπλοί νικητές. Επίσης μπορεί να υπολογιστεί αλγεβρικά με τον ακόλουθο τρόπο: 

 

 

 

 Ακόμη και σε αυτή την περίπτωση περιμένουμε περίπου 13 πολλαπλούς νικητές μετά από 11 κληρώσεις.  Από λάθος μου έβαλα 4.2 αντί για 4.3 (τον μ.ο. των συμμετεχόντων σε κάθε κλήρωση), αλλά δεν επηρρεάζεται ιδιαίτερα το αποτέλεσμα. 

 

Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ότι στην περίπτωση που επιτρέψουμε πολλαπλούς νικητές και στον ίδιο μήνα, τότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα των γενεθλίων. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον προσεγγιστικό τύπο με το 4.3 εκατομμύρια στη θέση του 365 και για Ν=11000, βρίσκουμε ότι η πιθανότητα να υπάρξει παίκτης με 3 νίκες είναι περίπου 1.1%, ενώ η πιθανότητα για παίκτη με 2 νίκες είναι 99.99% (το οποίο συμφωνεί με τα παραπάνω).  

 

Γενικά όλες οι προβλέψεις που κάναμε με το απλό μοντέλο περιμένουμε να είναι μικρότερες από το τι συμβαίνει στην πραγματικότητα. Ο λόγος είναι ότι στην πραγματικότητα ο κάθε παίκτης μπαίνει στην κλήρωση έχοντας λαχνούς. Διαισθητικά περιμένουμε οι παίκτες που μπαίνουν συστηματικά με πολλούς λαχνούς να έχουν και μεγαλύτερη πιθανότητα να νικήσουν παραπάνω από μία φορά. Αυτό δεν ήταν εφικτό στο προηγούμενο μοντέλο, αφού όλοι έμπαιναν με τον ίδιο αριθμό λαχνών.

 

Δυστυχώς δε γνωρίζουμε την αρχική κατανομή των λαχνών οπότε θα αναγκαστούμε να κάνουμε μερικά educated guesses. Γνωρίζουμε ότι κατά μ.ο. 4.3 εκατομμύρια παίκτες, που συνολικά αντιστοιχούν σε 1δις λαχνούς, συμμετέχουν σε κάθε κλήρωση. Επίσης γνωρίζουμε την κατανομή τριών πληθυσμιακών ομάδων μέσα στους νικητές, λόγω της πληροφορίας ότι 1.548 τυχεροί λαχνοί αντιστοιχούν σε μηνιαίες συναλλαγές από 3,70 € έως 200 €, οι 6.057 λαχνοί σεσυναλλαγές μεταξύ 200,01 € και 1.000 €, ενώ 3.395 τυχεροί λαχνοί προέρχονται από μηνιαίεςσυναλλαγές άνω των 1.000 €.

 

Ονομάζουμε τις ομάδες αυτές Α, Β, Γ. Για τις ομάδες Α και Β εκτιμούμε το μέσο πλήθος των λαχνών που αντιστοιχούν στους νικητές ως το μέσο του διαστήματος στο οποίο παίρνουν τιμές πχ. τα άτομα που νίκησαν και ανήκουν στην ομάδα Α γνωρίζουμε ότι έχουν λαχνούς στο διάστημα [3, 150]. Για την ομάδα Γ δε γνωρίζουμε τα άκρα του διαστήματος οπότε αφήνουμε προς το παρόν το πλήθος των λαχνών που αντιστοιχούν σε αυτή την ομάδα άγνωστο. Βάση των πληροφοριών που έχουμε μπορούμε να κάνουμε μια εκτίμηση για τους αρχικούς πληθυσμούς των ομάδων, καθώς και των λαχνών τους:

 

 

 

Η αρχική κατανομή των λαχνών μας μοιάζει κάπως έτσι:

 

 

Εν συνεχεία προσομοιώνουμε την κλήρωση. Κάνουμε 2 ειδών προσομοιώσεις. Η πρώτη γίνεται με επανατοποθέτηση και η δεύτερη χωρίς. Οι κληρώσεις που έγιναν στην πραγματικότητα ήταν χωρίς επανατοποθέτηση, αλλά αυτή η διαδικασία είναι αρκετά χρονοβόρα στην προσομοίωσή της και διαρκεί 60 φορές περισσότερο από την άλλη. Λαμβάνοντας υπόψιν τους χρόνους, έκανα 1000 επαναλήψεις στην πρώτη και 50 στη δεύτερη. Ο κώδικας στην R είναι 

library(descr)
library(qpcR)
U2 =runif(4300000)
rand.samples2 = rep(NA,4300000)  # We choose the initial population
for(i in 1:4300000){      # and distribute the lottery tickets according to our prior distributions
if(U2[i]<.434){
        rand.samples2[i] = rbeta(1,2,25)
    }else if(U2[i]<.86){
        rand.samples2[i] = rbeta(1, 3,7)
    }else{
        rand.samples2[i] = rbeta(1,5.33,5)
    }}

onedrawReplacement2 <- function(N, prob) {  #Simulation of one draw with replacement
  f1<-sample(N, 1000, prob, replace=TRUE)
  f1}
manydrawsReplacement2<-function(times, N, prob){  #Simulation of |times|-draws with replacement
dd<-replicate(times, onedrawReplacement2(N, prob))
freq(freq(dd)[,1])}
test2<-manydrawsReplacement2(11, 4300000, rand.samples2)[,1]   # We simulate 11 rounds
for (j in 1:999){                                              # We simulate 1000 draws of 11 rounds each
test2<-qpcR:::cbind.na(test2,manydrawsReplacement2(11, 4300000, rand.samples2)[,1])}  #and store the data in the matrix test2
summary(test2[2,])    # Stats for the two-time winners (mean, max, min etc.)
sd(test2[2,])         # Standard deviation for the two-time winners
length(test2[2,])     # Total number of simulations
sum(test2[4,]<55)     # Number of three-time winners
sum(test2[4,]==1)     # Number of draws with exactly one three-time winner

αλλάζοντας την τιμή από TRUE σε FALSE, αλλάζουμε και το είδος της προσομοίωσης.

 

 

 

 

Ένα πιο ρεαλιστικό μοντέλο θα ήταν το εξής: Κάθε παίκτης i να μήν έχει τον ίδιο αριθμό λαχνών Λ_i κάθε μήνα, αλλά σε κάθε μήνα τραβάει έναν αριθμό από μια κατάλληλη prior με μέση τιμή Λ_i. Σε κάποιες κληρώσεις μπορεί και να μη συμμετέχει καθόλου (όπως και συνέβη). Αυτό προϋποθέτει κι άλλες εκτιμήσεις για τις prior και επίσης αυξάνει περαιτέρω το χρόνο εκτέλεσης, οπότε δεν το εξέτασα.  

 

Τα αποτελέσματα: 

α) Από τις 1000 προσομοιώσεις με επανατοποθέτηση, ο μέσος αριθμός παικτών με δύο νίκες είναι 23.2 και η διασπορά 4.8. Η πιθανότητα να πάρουμε τιμή μεγαλύτερη από 28 είναι 13.7%. Θυμίζω ότι στην κλήρωση του υπουργείου ο αριθμός ήταν 29, το οποίο δεν αντιβαίνει με τις εκτιμήσεις που πήραμε. 

Η σχετική συχνότητα των παικτών με 3 νίκες είναι 3.9%. Αυτή είναι αρκετά μεγαλύτερη από όσο θα πίστευε κανείς,αλλά και πάλι δεν είναι αρκετή ώστε να είναι εύλογο το να δώσει 4 παίκτες με τρεις νίκες ταυτόχρονα. Στην προσομοίωσή μας εμφανιζόταν πάντα το πολύ ένας παίκτης με 3 νίκες.

 

β) Στις 50 προσομοιώσεις χωρίς επανατοποθέτηση, ο μέσος αριθμός παικτών με 2 νίκες είναι 21.6 με τη διασπορά στο 4. Επίσης βρέθηκαν 2 παίκτες με τρεις νίκες, το οποίο δίνει πάλι μια εκτίμηση της τάξης του 4% για τη συγκεκριμένη πιθανότητα.

 

 

Τελος, για το ότι κάποιος παίκτης κέρδισε με 3.7 ευρώ, δεν είναι τόσο εντυπωσιακό όσο φαίνεται, αν αναλογιστούμε πόσοι παίκτες μπαίνουν στην κλήρωση με ψιλοαγορές αξίας λιγότερης των 10 ευρώ/μήνα. Αν δούμε τα δεδομένα του τυχαίου δείγματος για τον πληθυσμό που τραβήξαμε, υπολογίζουμε ότι η πιθανότητα μετά από 11 κληρώσεις να υπάρχει νικητής με λιγότερα από 4 ευρώ αγορών (το οποίο και συνέβη) είναι ίση με 18% ενώ με λιγότερα από 7ευρώ είναι 64%.  

Κατά τη γνώμη μου η πραγματική πιθανότητα είναι αρκετά μεγαλύτερη και βγαίνει μόνο 18% για λόγους που δεν ήταν σκόπιμο να ληφθούν υπόψιν όταν έχτισα την prior της ομάδας Α. 

 

 

TL;DR

 

 Πολλαπλοί νικητές: Είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα εμφανίζονται πολλαπλοί νικητές ήδη από τις πρώτες κληρώσεις, πόσο μάλλον μετά από 11. Η πιο συντηρητική θεωρητική πρόβλεψη δίνει τουλάχιστον 13 πολλαπλούς νικητές, ενώ οι προσομοιώσεις δίνουν περίπου 23. Ο αριθμός που παρατηρήθηκε στην πραγματικότητα (29) συνάδει με τα παραπάνω.

 

Παίκτες με τρεις νίκες:   Η πιθανότητα να εμφανιστεί κάποιος με 3 νίκες είναι μεγαλύτερη από ότι νομίζουν οι περισσότεροι. Οι προσομοιώσεις τη βγάζουν στην τάξη του 4%, αλλά ακόμη και έτσι, ρεαλιστικά, δε δίνει 4 παίκτες. Από όλες τις καχυποψίες που εκφράστηκαν, η μόνη που φαίνεται να έχει βάση είναι όχι το ότι βρέθηκε παίκτης με τρεις νίκες, αλλά το ότι βρέθηκαν τέσσερις τέτοιοι παίκτες. Όμως με τις προσομοιώσεις να είναι τόσο ευαίσθητες στα αρχικά δεδομένα δεν μπορούμε να πούμε με σιγουριά κάτι χωρίς επιπλέον πληροφόρηση.

 

Ο τύπος με τα 3.7 ευρώ: Από τη δική του οπτική, όντως είναι σαν να του έκατσε το λαχείο, αλλά αν το δούμε συνολικά είναι αναμενόμενο ότι θα υπήρχε κάποιος νικητής με ελάχιστους (1-10) λαχνούς. Για την ύπαρξη νικητή με λιγοτερους από τέσσερις λαχνούς, η πιθανότητα είναι της τάξης του 18%, αλλα και εδώ ο αριθμός εξαρτάται πολύ από την αρχική κατανομή των λαχνών.

 

Κατάλαβες Αρίστο;     

[opera]

Απορώ γιατί γίνεται τόση συζήτηση,η συμμετοχή είναι δεδομένη από τη στιγμή που κάθε φορολογούμενος είναι υποχρεωμένος να κάνει ηλεκτρονικές συναλλαγές για να χτίσει το αφορολόγητο.

Από εκεί και πέρα οι κληρώσεις είναι μπόνους,αν κάτσει έκατσε,δε πληρώνει κανείς επιπλέον χρήματα για να συμμετάσχει.

Από την άλλη όμως όλη αυτή η κατάσταση με τα "κοινωνικά" επιδόματα-τιμολόγια,τα δήθεν αλληλεγγύης,τις κληρώσεις κλπ θυμίζουν τριτοκοσμική χώρα,αν η οικονομική κατάσταση των πολιτών και η φορολογική συνείδηση ήταν όπως πρέπει δε θα χρειάζονταν τίποτα από αυτά.

Από τη μία μας ξεσκίζουν στους φόρους και από την άλλη με τεχνάσματα προσπαθούν να κάνουν τι,να χρυσώσουν το χάπι;

[conne]

Η γυναίκα μου κέρδισε 1000 ευρώ ,απο τον μήνα Σεπτέμβριο με 750ευρω αγορών με κάρτα..

[Hapatingo]

Απορώ γιατί γίνεται τόση συζήτηση,η συμμετοχή είναι δεδομένη από τη στιγμή που κάθε φορολογούμενος είναι υποχρεωμένος να κάνει ηλεκτρονικές συναλλαγές για να χτίσει το αφορολόγητο.

Από εκεί και πέρα οι κληρώσεις είναι μπόνους,αν κάτσει έκατσε,δε πληρώνει κανείς επιπλέον χρήματα για να συμμετάσχει.

Από την άλλη όμως όλη αυτή η κατάσταση με τα "κοινωνικά" επιδόματα-τιμολόγια,τα δήθεν αλληλεγγύης,τις κληρώσεις κλπ θυμίζουν τριτοκοσμική χώρα,αν η οικονομική κατάσταση των πολιτών και η φορολογική συνείδηση ήταν όπως πρέπει δε θα χρειάζονταν τίποτα από αυτά.

Από τη μία μας ξεσκίζουν στους φόρους και από την άλλη με τεχνάσματα προσπαθούν να κάνουν τι,να χρυσώσουν το χάπι;

 

Κάτσε δηλαδή το να μοιράζεις 12 εκατομμύρια για ξεφτίλα λόγο, δεν είναι έξοδα? Από εσένα και από εμένα τα έκοψαν, δεν τα γέννησαν.

[ObeyWario!]

Αργά το καταλάβανε

Σε 11 κληρώσεις το 2017 στις οποίες συμμετείχαν 6 εκατομμύρια πολίτες, υπήρξαν 29 άτομα που κέρδισαν 2 φορές και 4 άτομα που κέρδισαν 3 φορές. Ως εκ τούτου ζητεί την παρέμβαση του εισαγγελέα για την αναζήτηση τυχόν ευθυνών αναφορικά με τη διαφάνεια της διαδικασίας, ενώ παράλληλα αφήνει ανοικτό το ενδεχόμενο σύνδεσης των νικητών με πολιτικά πρόσωπα και την πιθανή χειραγώγηση των κληρώσεων.

«Είναι κάποιοι άνθρωποι στα αλήθεια τόσο τυχεροί; Ή μήπως υπάρχει κάποια λογικότερη εξήγηση;», αναρωτιέται το Ποτάμι και υπογραμμίζει ότι σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων ένας άνθρωπος έχει 100 φορές περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει το Τζόκερ παρά να κληρωθεί 3 φορές στις 11 κληρώσεις του 2017, ενώ «η πιθανότητα να κληρωθούν 29 άτομα 2 φορές είναι ένας αριθμός που έχει τη μονάδα ως εκατοστό εβδομηκοστό τέταρτο ψηφίο μετά από 173 μηδενικά».

Κατόπιν αυτών των ευρημάτων το κόμμα του Σ. Θεοδωράκη αναφέρει πως  τίθεται σοβαρότατο ζήτημα αξιοπιστίας των κληρώσεων και προκειμένου να διαπιστωθεί αν πρόκειται για λάθος του συστήματος ή ανθρώπινη παρέμβαση,  καλεί το Υπουργείο Οικονομικών και την ΑΑΔΕ να δημοσιοποιήσουν:

- τον τρόπο λειτουργίας της ηλεκτρονικής κληρωτίδας

- τον ανεξάρτητο πιστοποιημένο φορέα/εταιρεία που ανέλαβε τη διενέργεια των κληρώσεων και τον τρόπο επιλογής του

- τη συνεισφορά του φορέα/εταιρείας στον σχεδιασμό

- την αξιολόγηση και υλοποίηση του ηλεκτρονικού συστήματος και τη συμμετοχή του στον έλεγχο και πιστοποίηση των αποτελεσμάτων.