Μαθηματικά - Πιθανότητες

[fotodv7]

Καλησπέρα. Πριν 3 χρόνια έδινα πανελλήνιες και στα μαθηματικά κάναμε πιθανότητες. Θυμάμαι που ο καθηγητής μου μας έλεγε ότι για παράδειγμα αν έχουμε 3 κουτιά (α, β, γ) και μέσα σε ένα από αυτά υπάρχει χρυσός τότε η πιθανότητα να βρούμε το σωστό είναι 33.3%.

 

Πείτε ότι εμείς διαλέγουμε το α. Στη συνέχεια κάποιος ανοίγει το β και μας δείχνει ότι είναι άδειο. Άρα το έπαθλο είναι ή στο α (το δικό μας) ή στο γ. Ε για κάποιον λόγο που δε θυμάμαι και θα μου τον θυμισετε εσείς, εμείς πρέπει να αλλάξουμε την επιλογή μας και να επιλέξουμε το γ καθώς αυξάνονται οι πιθανότητες του.

 

Υ.Γ: μπορεί να λέω μπαρούφες καθώς δε θυμάμαι ακριβώς την ιστορία

[Pablo_Hasan]

διαβασε για το Monty Hall problem  

[giannakos94]

Ειναι γνωστο προβλημα. Για να σου εξηγησω απλα αφου η πιθανοτητα να κανω λαθος ειναι 66 %
δειχνοντας μας την μια λαθος κ την δυνατοτητα ν αλλαξουμε απαντηση το 66 φευγει απο το λαθος και παει στο χρυσο.
Αλλιως δες το μια μισ περιπτωση και θα δεις οτι ισχυει.

[sargio01]

Το σκεπτικό είναι το εξής: Στην αρχή έχεις ΔΥΟ πιθανότητες αστοχίας και στο τέλος ΜΙΑ! Διαλέγεις το γ με την προϋπόθεση οτι αυτός που τα ανοίγει ξέρει που είναι ο χρυσός, οπότε δεν θα άνοιγε το γεμάτο κουτί γιατί θα τελείωνε το παιχνίδι εκεί.

[flik]

Η πιο απλή εξήγηση είναι η εξής.

Εφόσον αυτόπου που ανοίγει ανοίγει κάτι κενό, και εσύ θα αλλάξεις επιλογή, η μόνη περίπτωση να αλλάξεις και να χάσεις είναι να διάλεξες απο την αρχή το σωστό. Άρα 33% γιατί τοσο ειναι να διαλεξεις απο την αρχη το σωστο.

Άρα 66% με αυτη τη στρατηγικη να νικησεις.

[Sellers]

Για να μπορέσεις να καταλάβεις την φιλοσοφία του προβλήματος, σκέψου 1000 κουτιά αντί για 3. Τα 999 ειναι άδεια, το 1 έχει κάτι. Σου λένε διάλεξε ενα στην τύχη. Διαλέγεις εσύ ένα (99,9% άδειο), και μετά σου ανοίγουν 998 άδεια κουτιά και σου αφήνουν ένα, και το δικό σου. Και σου λενε ''θα κρατήσεις το δικό σου, ή θα αλλάξεις σε αυτό που αφήσαμε?'' 

 

Ε πρέπει να είσαι χαζός να κρατήσεις το κουτί σου.

Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και με τα 3 κουτιά, απλά αλλάζουν τα ποσοστά (namely το 99,9% γίνεται 66,6%)

[kabouras]

Βασικα νομιζω πιο σωστα δεν πρεπειαπαραιτητα να αλλαξουμε την επιλογη μας,

 

Αλλα να διαλεξουμε παλι ενα απο τα δυο εναπομιναντα κουτια στην τυχη (μπορει και το ιδιο που ειχμε πριν)

[Sova]

Η πιθανότητα όταν σου μένουν 2 είναι 50-50. 

[qsis]

εγώ αυτό το προβλημα το έχω καταλάβει ως εξής

 

ας πούμε ότι διαλέγεις ένα κουτί και έχεις 1/3 πιθανότητα να κερδίσεις

 

τα άλλα 2 κουτιά μαζί είναι τα υπόλοιπα 2/3 (προσοχή έχει σημασία τα άλλα 2 κουτιά να τα δούμε ως ένα σύνολο!)

 

επειδή στη συνέχεια από τα άλλα 2 κουτιά υποχρεωτικά θα δεις ποιο από τα δύο είναι άδειο, σε συμφέρει να αλλάξεις την επιλογή σου και να πας από το 1/3 που ήσουν στην "ομάδα" με τα 2/3 

 

(και δεν είναι 50-50 που μπορεί να σκεφτεί κάποιος)

 

οπότε αλλάζοντας την επιλογή σου η πιθανότητα να κερδίσεις είναι 2/3 και όχι 1/3 που θα παρέμενε αν επέμενες στην αρχική επιλογή σου 

 

οπότε ναι συμφέρει να αλλάξεις 

Η πιθανότητα όταν σου μένουν 2 είναι 50-50. 

η εκ νέου επιλογή σου όμως δεν είναι ανεξάρτητη από το γεγονός ότι πλέον ξέρεις ποιο από τα αρχικά 3 είναι άδειο

 

είναι τελείως διαφορετικό από το να σου παρουσίαζαν 2 κουτιά από την αρχή και να μην είχες κανένα άλλο στοιχείο

 

το παιχνίδι αυτό βασίζεται στη ψυχολογία του παίκτη που δε θα θελήσει τις περισσότερες φορές να αλλάξει το κουτί του, άρα έχει συνήθως 1/3 πιθανότητα να κερδίσει και αυτός που στήνει το παιχνίδι 2/3

 

μόνο αν αλλάξει επιλογή ο παίκτης το γυρνάει με το μέρος του και έχει 2/3

[Sova]

Μα από τη στιγμή που ήδη άνοιξε το ένα κουτί και σου δείχνει ότι είναι άδειο, ποιο το νόημα να αλλάξεις την επιλογή σου; Από εκείνη τη στιγμή οι πιθανότητες είναι πλέον 50%. 

[Spect~]

Μα από τη στιγμή που ήδη άνοιξε το ένα κουτί και σου δείχνει ότι είναι άδειο, ποιο το νόημα να αλλάξεις την επιλογή σου; Από εκείνη τη στιγμή οι πιθανότητες είναι πλέον 50%. 

ναι αλλα στην αρχη οι πιθανοτητες να εχεις βρει το σωστο ειναι 33.3 ενω τωρα ειναι 50! πιο απλα σκεψου του οτι σαν δυο διαφορετικες επιλογες. Την πρωτη φορα διαλεγεις μια απο τις 3 πορτες α,β και γ. Σου βγαζει οτι η γ ειναι αδεια οποτε πας στον "επομενο γυρο" οπου δεν εχεις να διαλεξεις απο τις α και β αλλα απο τις δ και ε!

[qsis]

ναι αλλα στην αρχη οι πιθανοτητες να εχεις βρει το σωστο ειναι 33.3 ενω τωρα ειναι 50!

δεν είναι 50, είναι 66.66%

Μα από τη στιγμή που ήδη άνοιξε το ένα κουτί και σου δείχνει ότι είναι άδειο, ποιο το νόημα να αλλάξεις την επιλογή σου; Από εκείνη τη στιγμή οι πιθανότητες είναι πλέον 50%. 

το ότι σου έδειξε το κουτί σου επιτρέπει να περάσεις στο σύνολο του 66.66% χωρίς όμως να έχεις σε αυτό το σύνολο να έχεις πλέον τη πιθανότητα του 1/2*2/3=1/3=0.3333 ή 33.33% να βρεις το σωστό , δηλαδή να έχεις πάλι πιθανότητα που είχες επιλέγοντας το αρχικό κουτί 

 

είναι πολύ σημαντικό το ότι σου λέει ποιο είναι το άδειο κουτί, αφού εσύ έχεις διαλέξει ήδη ένα και δημιουργείς μια δέσμευση 

 

ο μόνος τρόπος για να πας στο 50% είναι από την αρχή πριν επιλέξεις να σου έβγαζε ένα άδειο κουτί και στη συνέχεια να επέλεγες από τα άλλα 2 

[Bspus]

Μια κρισιμη λεπτομερεια που πολλοι παραλειπουν να αναφερουν ειναι οτι αυτος που σου ανοιγει το πρωτο κουτι πρεπει να ξερει οτι ειναι αδειο.

 

Αν δεν το ξερει και ανοιξει καποιο απο τα 2 που δεν εχεις διαλεξει στην τυχη και τυχει να ειναι αδειο η πιθανοτητα δεν ειναι 2/3 να κερδισεις αμα αλλαξεις αλλα 50%

 

Αυτο ειναι λιγο πιο δυσκολο να το κατανοησει καποιος απο την "απλη" εκδοση.

 

Για να το καταλαβει καποιος πιο ευκολα, ας σκεφτει οτι το παιχνιδι επαναλαμβανεται 1000 φορες

 

Στην εκδοση που ο βοηθος που ανοιγει κουτι ξερει το αδειο, και στις 1000 φορες θα ανοιξει αδειο

 

Στην εκδοση που δεν το ξερει, καποιες φορες θα ανοιξει αυτο με το επαθλο.

Ομως εχουμε ηδη βαλει περιορισμο οτι αυτο δεν μπορει να συμβει οποτε αυτα τα ενδεχομενα πρεπει να αποκλειστουν

 

Με αυτα τα ενδεχομενα που απομενουν, οι πιθανοτητες πανε στο 50-50 αν το υπολογισει καποιος

[giannakos94]

Παιδια σαν φοιτητης μαθηματικων , μου αρεσει να διαβαζω τις αναλυσεις που κανετε αλλα ειναι πολυ απλο .

1 κουτι αδειο / 2 κουτι αδειο / 3 κουτι χρυσος 

-1η περιπτωση:Διαλεγω το 1ο μου βγαζει το 2ο , αλλαζω στο 3ο και κερδισα
-2η περιπτωση Διαλεγω το 2ο, μου βγαζει το 1ο, αλλαζω στο 3ο ξανακερδισα
-3η περιπτωση Διαλεγω το 3ο , μου βγαζει το 1ο η το 2ο αλλαζω και εχασα

Προφανες 2/3 πιθ να κερδισω 
Εχει να κανει με την αλλαγη μεταβλητων μεσα σε ενα προβλημα

[qsis]

Εντάξει είναι 2/3 για τον παίκτη αν αλλάξει άμα ο άλλος ξερει που είναι ο χρυσός, αν όμως δεν ξέρει γίνεται πιο πολύπλοκο, αν σου ανοίξει κουτί και σου αποκαλύψει το χρυσό αυτό θεωρειται νίκη ή όχι;

 

Εδώ βρήκα μια ωραία συζήτηση με αφορμή αυτό που είπε ο bspus

 

http://forums.udacity.com/questions/10009738/why-monty-hall-is-tricky