βίβλιο για multivariable calculus

[V.I.Smirnov]

Πολλές συναρτήσεις επιστρέφουν περισσότερες από μια τιμές, π.χ. sqrt(1)= +1 ή -1.
Η σωστή ερμηνεία τους όμως δίνεται στην Μιγαδική Ανάλυση όπου ορίζουν ειδικές μορφές επιφανειών
με πιο γνωστή την επιφάνεια Reimann. Υπάρχουν βιβλία που μελετούν αποκλειστικά τις ιδιότητες αυτής
της επιφάνειας, π.χ. το κλασσικό σύγγραμμα "The Concept of a Riemann Surface", H. Weyl.

 

 

Σε ότι αφορά το θέμα με τον κύκλο, πρόκειται για την αλγεβρική παράσταση μιας καμπύλης.
Μια καμπύλη εφόσον είναι απλή, δηλ. δεν τέμνει τον εαυτό της, μπορεί να αναπαρασταθεί μονοσήμαντα,
απλώς πρέπει να επιλεγεί το κατάλληλο σύστημα συν/νων ή/και η παραμέτρηση.
Π.χ. ο κύκλος μπορεί να γραφεί ως διανυσματική συνάρτηση με παράμετρο (μεταβλητή) t την γωνία :
f(t) = r cost x₀ + r sint y₀ , με t στο [0,2π]  και x_0, y₀ τα ορθοκανονικά διανύσματα.

Εξάλλου, ο κύκλος f(t) μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση δυο μεταβλητών αν περιληφθεί ως μεταβλητή

και η ακτίνα, δηλ. f(t,r) =...

Η πληροφορία που περιέχεται και απαρτίζει την f είναι περισσότερες από μια τιμές (οι συνιστώσες f_x,f_y της f)

αλλά αυτό δεν αναιρεί το ότι η f(t) συνάρτηση:

είναι μια απεικόνιση που δέχεται κάποια ορίσματα και δίνει ως μοναδικό αποτέλεσμα ένα διάνυσμα.

Προφανώς, για να αναπαραχθεί σε μια οθόνη το διάνυσμα f, πρέπει να αναλυθεί σε καρτεσιανό σύστημα,

ήτοι στις συνιστώσες f_x,f_y διότι μ' αυτές δουλεύει η οθόνη.

 

Γενικά στα γραφικά υπολογιστών η αναπαράσταση καμπύλων γίνεται με την διανυσματική μορφή τους
επειδή παραπέμπει άμεσα σε διανυσματικές πράξεις, όχι με τις αναλυτικές τους εξισώσεις.

Π.χ. μια ευθεία είναι απλή καμπύλη και αναπαρίσταται πάντα από μια συνάρτηση. Δεν έχει σημασία η

κλίση της : η "κακή" περίπτωση να  μην είναι συνάρτηση στις 90 μοίρες οφείλεται μόνο στην ακατάλληλη

αναπαράσταση, όχι στην ευθεία καθεαυτό. Παραμετρικά γράφεται ως r(t)= A + t*AB όπου τα Α, Β  είναι

τα σημεία που την ορίζουν, η δε σχέση αυτή ισχύει κι επιτρέπει πράξεις ανεξάρτητα από το αν η ευθεία

έχει κλίση 90 μοίρες.

Για όσους έχουν ασχοληθεί με καμπύλες spline, Bezier, Nurbs τα παραπάνω είναι προφανή, καθώς αυτές

ορίζονται μόνον παραμετρικά (διανυσματικά).

 

Σε πρόγραμμα, απλώς γράφεται μια ρουτίνα που δέχεται ως ορίσματα τα t,r και επιστρέφει τα x,y,z

(εφόσον ζητούνται καρτεσιανές συν/νες) του εκάστοτε σημείου της καμπύλης - με οποιονδήποτε τρόπο : 

π.χ. με μια δομή δομή-point ή με έναν πίνακα τριών θέσεων.

Μπορεί επίσης να επιστρέφει μια τιμή για την παράμετρο t (αν το αποτέλεσμα ζητείται παραμετρικά).
Κανένα μπέρδεμα δεν υπάρχει λοιπόν.

Ο παπί απλώς σκέφτεται λάθος το πρόβλημα διότι δεν χρησιμοποιεί την κατάλληλη αναπαράσταση της

καμπύλης.

 

-

Επεξ/σία 26 Ιουλίου 2013 από V.I.Smirnov

[παπι]

Καλα, βλεπω δεν μπορω να εκφρασω αυτο που εχω στο μυαλο μου (πρεπει να ειναι πρωτη φορα. NOT)

 

Ας το παμε αλλιως. Σε αυτο που εφερα απο το παρελθον (#8), ετσι οπως τα εγραψα, απο μαθηματικη αποψη ειναι σωστα; Δεν ελω εαν υπαρχει αλλος τροπος ή κατι αλλο. Αυτα που εγραψα, τα εγραψα με το σωστο μαθηματικο "συμβολισμο";

[V.I.Smirnov]

Τι δεν καταλαβαίνεις, απλούστατο είναι. Ο κύκλος γράφεται μαθηματικά ως

 f(θ)= r cosθ x₀ + r sinθ y₀ ,

με θ στο [0,2π] και x_0, y₀ τα ορθοκανονικά διανύσματα.

Είναι συνάρτηση : το θ απεικονίζεται σε ένα μοναδικό διάνυσμα f.

Επειδή η f είναι διάνυσμα αποτελείται από δυο τιμές (τις συνιστώσες της).

Σε πράξεις, με κάποιον τρόπο πρέπει να αποθηκεύεις και να εκφράσεις αυτές τις συνιστώσες.

Στα μαθηματικά μπορεί να είναι οι πίνακες. Σε πρόγραμμα μπορεί να είναι πίνακες ή δομές.

Όπως το έγραψες  είναι απλώς μια περιφραστική γραφή της f(θ) :

 f_x(θ)= r cosθ,  f_y(θ)= r sinθ

που χρειάζεται στις πράξεις.

 

 

Εσύ έλεγες ότι "ο προγραμματισμός δεν θέλει μαθηματικά αλλά μυαλό."

Όπως βλέπεις όμως, τουλάχιστον την στοιχειώδη γεωμετρία πρέπει να την ξέρεις...

 

-

[thanos713]

Πολλές συναρτήσεις επιστρέφουν περισσότερες από μια τιμές, π.χ. sqrt(1)= +1 ή -1.

Η σωστή ερμηνεία τους όμως δίνεται στην Μιγαδική Ανάλυση όπου ορίζουν ειδικές μορφές επιφανειών

με πιο γνωστή την επιφάνεια Reimann. Υπάρχουν βιβλία που μελετούν αποκλειστικά τις ιδιότητες αυτής

της επιφάνειας, π.χ. το κλασσικό σύγγραμμα "The Concept of a Riemann Surface", H. Weyl.

Με την συνάρτηση sqrt, πάντα υπάρχει θέμα. Συνήθως όταν αναφέρεσαι σε τετραγωνική ρίζα, εννοείς την "principal square root", που είναι μόνο ο θετικός αριθμός, γι' αυτό και στην Ανάλυση πάντα ορίζουμε συνάρτηση sqrt(x) που είναι και πάντα θετική.

 

Όσον αφορά την Μιγαδική Ανάλυση, είπες ότι φοβόμουν... Ο μόνος ενδοιασμός που είχα περί συναρτήσεων, ήταν για τις μιγαδικές, που προφανώς και δεν γνωρίζω άρα δεν μπορώ να πω κάτι περισσότερο...

[insomniaK]

Ψάχνω κάποιο βίβλιο για multivariable calculus που να εξηγεί καλά τα θέματα. Ξέρει κανείς να μου προτείνει κάποιο

 

Αυτό (κυκλοφορεί και στα ελληνικά και από τις πανεπιστημιακές εκδόσεις κρήτης).

[Directx]

[..]

Εσύ έλεγες ότι "ο προγραμματισμός δεν θέλει μαθηματικά αλλά μυαλό."

Όπως βλέπεις όμως, τουλάχιστον την στοιχειώδη γεωμετρία πρέπει να την ξέρεις...

 

-

Αν η ενασχόληση σου περιλαμβάνει γεωμετρικά ζητήματα ναι, διαφορετικά όχι.

[ChRis6]

Με την συνάρτηση sqrt, πάντα υπάρχει θέμα. Συνήθως όταν αναφέρεσαι σε τετραγωνική ρίζα, εννοείς την "principal square root", που είναι μόνο ο θετικός αριθμός, γι' αυτό και στην Ανάλυση πάντα ορίζουμε συνάρτηση sqrt(x) που είναι και πάντα θετική.

 

Όσον αφορά την Μιγαδική Ανάλυση, είπες ότι φοβόμουν... Ο μόνος ενδοιασμός που είχα περί συναρτήσεων, ήταν για τις μιγαδικές, που προφανώς και δεν γνωρίζω άρα δεν μπορώ να πω κάτι περισσότερο...

Υπάρχουν και συναρτήσεις που επιστρέφουν διανύσματα.Οι μιγαδικές συναρτήσεις είναι μόνο ένα υποσύνολο τους

 

O Κύκλος σε πολικές συντεταγμένες περιγράφεται με  cos και sin.

Στο καρτεσιανό είναι (x-x0)^2 + (y-y0)^2 = r^2 , όπου (x0, y0) το κέντρο του κύκλου  και   r η ακτίνα

 

edit:

@Directx

 

Οχι μονο με γεωμετρικά σχήματα.

Θέματα επεξεργασίας σημάτων,εικόνας, βίντεο , προσομοιωσεων ( η λίστα είναι μεγάλη..) χρειάζονται μαθηματικά που δεν τα μαθαίνεις στο λύκειο και κανένα βιβλίο προγραμματισμού δεν θα στα μάθει.

 

[Directx]

@Directx

 

Οχι μονο με γεωμετρικά σχήματα.

Θέματα επεξεργασίας σημάτων,εικόνας, βίντεο , προσομοιωσεων ( η λίστα είναι μεγάλη..) χρειάζονται μαθηματικά που δεν τα μαθαίνεις στο λύκειο και κανένα βιβλίο προγραμματισμού δεν θα στα μάθει.

Επίσης χρειάζεσαι βαθιά γνώση συγκεκριμένων δομών δεδομένων που επίσης κανένα βιβλίο ανώτερων μαθηματικών δεν συμπεριλαμβάνει (από την εμπειρία μου στην ανάπτυξη λογισμικού επεξεργασίας εικόνας & ήχου πριν μερικά φεγγάρια ).

 

--UPDATE:

Γενικά ας μην είμαστε αφοριστικοί (εκεί θέλω να εστιάσω), το πόσα μαθηματικά χρειάζεσαι εξαρτάται πάντα από το είδος του λογισμικού που γράφεις αλλά και τον διαθέσιμο αριθμό βιβλιοθηκών στο αντικείμενο που ασχολήσε, η χρήση των οποίων μπορεί να διευκολύνει θεαματικά την ανάπτυξη του λογισμικού δίχως να χρειασθεί να εντρυφήσεις σε απαιτητικούς (ή και εξωπραγματικούς) μαθηματικούς υπολογισμούς (ή και αντίστροφα, σε απαιτητικά θέματα Πληροφορικής -βλ. GUI/Δίκτυα κλπ αν έρχεσαι από έναν χώρο που δεν έχεις κατάρτιση σε τέτοια ζητήματα).

 

Άλλωστε ο προγραμματιστής ως άνθρωπος δεν μπορεί να κατέχει τα πάντα, δεν είναι πανεπιστήμονας (και οι τότε πανεπιστήμονες καλούνταν να εντρυφήσουν σε πολύ λιγότερη γνώση τελικά) - αν και στην εποχή που διανύουμε με την διείσδυση των Η/Υ [σε διάφορες μορφές] ίσως θα πρέπει .. να γίνει

[παπι]

 

 

Εσύ έλεγες ότι "ο προγραμματισμός δεν θέλει μαθηματικά αλλά μυαλό."

Όπως βλέπεις όμως, τουλάχιστον την στοιχειώδη γεωμετρία πρέπει να την ξέρεις...

 

-

 

Οχι. Ειπα δεν θελει μαθηματικα αλλα IQ. Και οταν λεω IQ εννοω την δυνατοτητα της προσαρμογης.

 

Τεσπα, παλι με μπερδεψες. Το γραφουμε ετσι:

fx(θ) = r cos θ, fy(θ) = r sin θ

 

ή 

ετσι

 

f(θ) = r cosθ x0 + r sinθ y0 (το συν εδω με μπερδευει, τι θελει να πει; οτι προσθετει τα δυο μερη του διανυσματος; )

 

ή και τα δυο ειναι σωστα;

 

ή το πρωτο ειναι μια γενικη μαθηματικη παρασταση (πχ μιλαμε για σημειο) και το δευτερο ειναι για διανυσματα μονο; (αν καταλαβα, αυτο πρεπει να ειναι το σωστο)

 

Αρα, αν πχ θελω να γραψω στα μαθηματικα την... ας πουμε την διαγωνια μετατοπιση ενως διανυσματος θα το εγραφα ετσι

 

f(q) = q + x0 + q + y0

 

ενω αν ηταν ενα σημειο ξερω γω.. θα ηταν ετσι:

fx(q) = q+x, fy(q) = q + y

[thanos713]

Και τα 2 σωστά είναι, απλά το ένα αναφέρεται στις συνιστώσες της f, fx και fy, και το άλλο στην f συνολικά. Οι συναρτήσεις που αναφέρει ο V.I.Smirnov αντί για έναν αριθμό, επιστρέφουν ένα διάνυσμα, πάλι 1 όμως, όχι 2, δεν έχω καταλάβει για ποιο λόγο αναιρείται αυτό που λέγαμε περί μοναδικότητας στην συνάρτηση... Τέλος πάντων.

 

Όσον αφορά την "διαγώνια μετατόπιση". Δεν έχω καταλάβει τι θες να κάνεις, αλλά μάλλον λάθος είναι, επειδή εσύ προσθέτεις έναν αριθμό (q) με έναν διάνυσμα (x0) (το ίδιο κάνεις και με το y0). Πάντως γενικότερα, μετατοπίσεις στα διανύσματα δεν γίνονται, αφού είναι ελεύθερα κυρίως. Τώρα στα εφαρμοστά διανύσματα, θα σε γελάσω για το τι συμβαίνει...