βίβλιο για multivariable calculus

[acid18]

Ψάχνω κάποιο βίβλιο για multivariable calculus που να εξηγεί καλά τα θέματα. Ξέρει κανείς να μου προτείνει κάποιο

 

[thanos713]

Τι "θέματα" εννοείς; Στα ελληνικά ή στα αγγλικά;

 

Εγώ αυτή την περίοδο παρακολουθώ Site: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/">αυτή την σειρά βιντεομαθημάτων του MIT. Μέχρι στιγμής είμαι πολύ ευχαριστημένος, έχει και σημειώσεις με προβλήματα (και απαντήσεις μαζί) και θέματα εξετάσεων για εξάσκηση.

[acid18]

 τώρα κοιτούσα αυτή την σελίδα στο MIT, μάλλον θα αρχίσω και εγω να παρακολουθω αυτα γιατί ειναι καλύτερα από βιβλίο

[παπι]

Ελα ρε, υπαρχει τετοιο δηλωση στα μαθηματικα f(x,y) ( ? ) μπραβο...

 

btw το εχω ξαναρωτησει αλλα δεν εχω παρει απαντηση. Πως μπορουμε να πουμε οτι μια συναρτηση f(x) μπορει να επιστρεψει παραπανω απο μια τιμη;

[thanos713]

Ελα ρε, υπαρχει τετοιο δηλωση στα μαθηματικα f(x,y) ( ? ) μπραβο...

 

btw το εχω ξαναρωτησει αλλα δεν εχω παρει απαντηση. Πως μπορουμε να πουμε οτι μια συναρτηση f(x) μπορει να επιστρεψει παραπανω απο μια τιμη;

Φυσικά, συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Αυτές οι πολλές μεταβλητές όμως, επιστρέφουν μία τιμή.

 

Για παράδειγμα, έχεις μια συνάρτηση f, με f(x,y,z) = x + 2y + 3z και f(1, 1/2, 1/3) = 3. Η γραφική της παράσταση, απαιτεί 4 άξονες, εκτός αν πάρεις μια σταθερή τιμή για το y ας πούμε, και κάνεις ένα "στιγμιότυπο" της γραφικής παράστασης σε 3 διαστάσεις. Το ίδιο ισχύει και για παραγώγους σε τέτοιου είδους συναρτήσεις, έχεις μερική παράγωγο ως προς κάτι, πχ. x, και τα άλλα τα θεωρείς σταθερές και φεύγουν στην παραγώγιση. Στην ολοκλήρωση υπολογίζεις όγκους, εμβαδά επιφανειών κλπ. Για να βρεις σημεία τομής, λύνεις συστήματα και έχεις πίνακες και ορίζουσες με πολλές διαστάσεις. Απλά αυτό μετά πάει πιο προς την Γραμμική Άλγεβρα.

 

Στο ερώτημα σου όμως. Προσωπικά, δεν γνωρίζω περίπτωση συνάρτησης που να επιστρέφει παραπάνω από μία τιμή, γιατί από τον ορισμό της συνάρτησης, ένα x αντιστοιχεί σε ένα μόνο y.

[nilosgr]

Πολλες μεταβλητες, πολλες λυσεις, πολλες εισοδοι, πολλες εξοδοι

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation#System_of_ODEs

[thanos713]

Πολλες μεταβλητες, πολλες λυσεις, πολλες εισοδοι, πολλες εξοδοι

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation#System_of_ODEs

Μα εδώ λες για συστήματα διαφορικών εξισώσεων, όχι για σκέτες συναρτήσεις.

Επεξ/σία 26 Ιουλίου 2013 από thanos713

[παπι]

Πολλες μεταβλητες, πολλες λυσεις, πολλες εισοδοι, πολλες εξοδοι

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation#System_of_ODEs

Χμμμ δεν θα ελεγα οτι εχω πινακες στο μυαλο μου

 

Ας πουμε, πως θα γραψω στα μαθηματικα f(pi) = .... 

βασικα δες το ποστ 4 http://www.insomnia.gr/topic/481402-image-processing-c-program-for-hough-circle/?hl=%CE%BA%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%BF%CF%82

 

πες μου πως θα το εγραφα αυτο στα μαθηματικα ;

[thanos713]

Χμμμ δεν θα ελεγα οτι εχω πινακες στο μυαλο μου

 

Ας πουμε, πως θα γραψω στα μαθηματικα f(pi) = .... 

βασικα δες το ποστ 4 http://www.insomnia.gr/topic/481402-image-processing-c-program-for-hough-circle/?hl=%CE%BA%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%BF%CF%82

 

πες μου πως θα το εγραφα αυτο στα μαθηματικα ;

Τι εννοείς f(pi); pi = 3.14...; Και τι πολλές τιμές θες να παίρνεις;

 

Πάντως απ' ότι κατάλαβα, το πρόβλημά σου είναι στην τετραγωνική ρίζα, που επιστρέφει μόνο έναν αριθμό, ενώ εσύ θες και τον πάνω κλάδο του κύκλου και τον κάτω. Αν λες αυτό, τότε έχεις 2 συναρτήσεις, όχι μία, αλλά φοβάμαι ότι εννοείς άλλο.

[παπι]

Σορι, ειμαι αστα να πανε στα μαθηματικα.

 

αυτο

x = cosθ

y = sinθ

απλο πραγματακι, πως θα το γραψω σε f(θ) = ? βλεπεις δεν βγαζω το y με βαση το x. Δηλαδη εχουμε μια f που παιρνει μια γωνια και επιστρεφει δυο συντεταγμενες

[thanos713]

Α, τώρα κατάλαβα τι λες. Έχεις 2 συναρτήσεις, την x(θ) = cosθ και την y(θ) = sinθ. Μπορεί το θ να είναι κοινό, αλλά δεν έχει καμία σημασία, έχεις 2 ξεχωριστές συναρτήσεις.

[παπι]

Και πως "λεω" πως αυτε οι δυο συναρτησεις ειναι "αγκαζε";

[thanos713]

Δε νομίζω να το λες κάπως, απλά βάζεις ίδιο γράμμα (θ εδώ) για να το θυμάσαι.

[pmav99]

@παπί

 

Δεν είμαι μαθηματικός οπότε μάλλον δεν είναι και πολύ ακριβή αυτά που θα πω Στα συμβατικά μαθηματικά που κάνουμε (πχ λυκείου ή πανεπιστημίου σε σχολές εκτός μαθηματικού) μαθαίνουμε ότι συνάρτηση είναι μία αντιστοίχηση από ένα σύνολο Χ σε ένα σύνολο Υ με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε τιμή του Χ να να αντιστοιχεί σε μία και μόνο τιμή του Υ (όμως διαφορετικά Χ μπορεί να αντιστοιχούν στο ίδιο Y)

 

Παραδείγματος χάρη

 

Η f(x) = x είναι συνάρτηση γιατί σε κάθε τιμή του συνόλου Χ (το οποίο ταυτίζεται με το R) αντιστοιχεί μία και μόνο τιμη του συνόλου Y (η οποία τιμή, τυχαίνει να είναι ίδια με το x)

 

Ομοιως η f(x) = 4 είναι και αυτή συνάρτηση γιατί σε κάθε τιμή του συνόλου Χ (το οποίο και πάλι ταυτίζεται με το R) αντιστοιχεί μία και μόνο τιμή του συνόλου Y, η οποία στην περίπτωση αυτή είναι πάντα το 4. Δηλαδή το σύνολο Υ στην περίπτωση αυτή έχει ένα και μόνο στοιχείο.

 

Μια ευθεία με κλίση 90 μοιρών δεν είναι συνάρτηση γιατί σε κάθε τιμή του συνόλου Χ αντιστοιχούν άπειρες τιμές στο σύνολο Υ.

 

Πιθανά να υπάρχουν τομείς των μαθηματικών (πχ μη ευκλείδειες γεωμετρίες) που δέχονται διαφορετικό ορισμό για τις συναρτήσεις. Ίσως ακόμα και στον ευκλείδειο χώρο να ορίζονται και απλά να τα κάνουν μόνο στο μαθηματικό. Νομίζω όμως ότι υπάρχει ευθεία μαθηματική αναλογία των συναρτήσεων/ρουτίνων στον προγραμματισμό με τις μαθηματικές συναρτήσεις όπως τις ανέφερα προηγουμένως.

 

Αν το καλοσκεφτείς οι συναρτήσεις επιστρέφουν πάντα μία τιμή. Το «pass by reference» είναι κατ' ουσίαν ένα κόλπο με το οποίο αλλαζεις την τιμή μιας μεταβλητής in place. Τεχνικά δηλαδή, η συνάρτηση δεν επιστρέφει την αλλαγμένη μεταβλητή. Επιστρέφει αυτό που είναι να επιστρέψει (int, double, bool, None whatever).

 

Ακόμα και οι γλώσσες που φαίνεται ότι μπορούν να επιστρέψουν πολλές μεταβλητές (πχ python) στην πραγματικότητα επιστρέφουν ένα tuple, έναν πινάκα δηλαδή ο οποίος νομίζω μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι είναι ένα «object».

 

Κάποιος που έχει σπουδάσει computer science ίσως να μπορεί να μας διαφωτίσει περισσότερο.

 

Σχετικά με αυτό που ρωτάς για το αγκαζέ, ούτε εγώ το καταλαβαίνω. Τουλάχιστον από μαθηματικής πλευράς μία συνάρτηση είανι αυτή του ημιτόνου και άλλη συνάρτηση είναι αυτή του συνημιτόνου. Και το ίδιο ακριβώς ισχύει και στον προγραμματισμό. Σε όλες τις γλώσσες υπάρχει μια ρουτίνα math.sin και άλλη μία math.cos (ή κάτι αντίστοιχο). Μπορεις φυσικά να γράψεις μια δική σου συνάρτηση που να επιστρέφει/υπολογίζει και τα δύο μαζί, σε ένα βήμα, αλλά δεν νομίζω ότι το κέρδος είναι σημαντικό. Απο πλευράς απόδοσης θα έχεις overhead λόγω του function call, ενώ τα κέρδη λόγω maintanability του κώδικα είναι συζητήσιμα

 

Edit.

Αυτό που ρωτάς μήπως είναι πως θα γραφεί το ακόλουθο σε «μαθηματική γλώσσα»

from math import sin, cos

def polar_to_cartesian(rho, phi):
    x = rho * cos(phi)
    y = rho * sin(phi)
    return x, y

[nilosgr]

Για y = f(x) έχουμε:

Πεδίο ορισμού -> όλες οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει το x, ώστε η f να δώσει αποτέλεσμα

Πεδίο τιμών -> το εύρος τιμών που μπορεί να πάρει το y

 

Άρα, έχουμε και λέμε. Αν το πεδίο ορισμού δεν είναι το R και είναι το R^2 τότε το x είναι διανυσμα -πχ [x1, x2]-, οπότε μπορώ να γράφω y = f(x1, x2).

Αντίστοιχα αν το πεδίο τιμών είναι το R^3 το y είναι διανυσμα τριών διαστάσεων.

 

Το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών μπορεί να είναι και το R^n ή το R^n*n ή οτιδήποτε άλλο τραβάει η όρεξη σου. Δεν υπάρχουν περιορισμοί, πχ το πεδίο τιμών μπορεί να είναι το N^3 και το πεδίο ορισμού το R.

 

Τέλος σε απάντηση σε αυτό με το cosΘ και sinΘ. Υπάρχει και το σενάριο που μια εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Πχ:

2x + y = 8

4x + 2y = 16

Άρα, θεωρούμε τη μια μεταβλητή -οποία θέλουμε εμείς- ανεξάρτητη και την άλλη εξαρτημένη. Λύνωντας έχεις:

y = 8 - 2x (η x είναι ανεξάρτητη)

 

(σόρι για τους εκθέτες και τους δείκτες, είμαι από κινητό και δεν έχει τον κανονικό editor)