Αριθμητική απορία

[qsis]

το μόνο που θα μπορούσε να κάνει κάποιος είναι σε κάποιο όριο όπου το x τείνει στο ένα να αντικαταστήσει όπου x τον άσσο και αυτό θα ήταν ουσιαστικά προσέγγιση, όχι να λέμε ότι δύο διαφορετικοί αριθμοί ισουνται , αυτό δε στέκει

[MJBulls23]

  Στις 1/3/2013 στις 5:54 ΜΜ, REDODIN7 είπε

Μπορει να μιλαμε για πολυ πολυ μικρη διαφορα αλλα δεν ειναι 1 εκτος αν το παρεις σαν ≈1

 

Δεν μιλαμε για περιπου ισο με 1 ή οτι πλησιαζει το 1, ΕΙΝΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ 1.

Ισχυει δηλαδη η ισοτητα 0.99... = 1 με το ... να συμβολιζει απειρες επαναληψεις ψηφιων 9.

[dreamercon]

  Στις 1/3/2013 στις 8:30 ΜΜ, MJBulls23 είπε

Δεν μιλαμε για περιπου ισο με 1 ή οτι πλησιαζει το 1, ΕΙΝΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ 1.

Ισχυει δηλαδη η ισοτητα 0.99... = 1 με το ... να συμβολιζει απειρες επαναληψεις ψηφιων 9.

 

Ακριβώς.

Προκαλεί απορία όχι τόσο ότι ο κόσμος δεν το καταλαβαίνει αυτό που λέμε, αλλά επιμένει στο λάθος και επιμένει να νομίζει ότι το λάθος είναι το σωστό, και μάλιστα με σιγουριά.

[MJBulls23]

  Στις 1/3/2013 στις 7:50 ΜΜ, qsis είπε

το μόνο που θα μπορούσε να κάνει κάποιος είναι σε κάποιο όριο όπου το x τείνει στο ένα να αντικαταστήσει όπου x τον άσσο και αυτό θα ήταν ουσιαστικά προσέγγιση, όχι να λέμε ότι δύο διαφορετικοί αριθμοί ισουνται , αυτό δε στέκει

 

 

 Δεν καταλαβαινω σε τι αναφερεσαι αλλά εαν σε καποιο οριο με χ να τεινει σε καποιον αριθμο, αντικαταστησεις στο οριο αντι του χ τον αριθμο στον οποιο τεινει, εκανες μια τρυπα στο νερο και η τιμη που θα παρεις (γενικα μιλωντας), εαν παρεις, ΔΕΝ αντιπροσωπευει τιποτα απολυτως σχετικα με την τιμη του οριου. Ουτε προσεγγιση, ουτε τιποτα. (εκτός αν μιλαμε φυσικα για μια υποπεριπτωση, αυτη των συνεχων συναρτησεων σε ενα διαστημα που περιλαμβανει μια περιοχη της τιμης που τεινει το χ)

 

Και για να επανελθω με 2 quiz-παραδοξα του τυπου που ο ΤΣ αρχισε και εδωσε αρχικα:

 

•1ο:

Ισχυουν οι ισοτητες:

0 =

1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 + ... =

(1 -1) +(1 -1) +(1 -1) +(1 -1) +(1 -1) + ... =

1 + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + ... =

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... =

1

Αρα 0 = 1

 

Με το ... να σημαινει απειρες επαναληψεις του αυτονοητου pattern, πχ στο "(1 -1) +(1 -1) + ..." σημαινει απειρα αθροισματα (1-1).

 

Που ειναι το λαθος? Σε ποια γραμμη εγινε?

 

 

•2ο:

Ισχυει για εναν πραγματικο αριθμο που δεν ειναι μηδεν:

α^2 = α·α =>   (αναπτυσσουμε το 6·4 πχ σε 6+6+6+6)

α^2 = α + α + α + ... + α + α  =>  (παραγωγιζουμε ως προς α)

d(α^2)/dα = d(α + α + α + ... + α + α)/dα =>

2α = d(α)/dα + d(α)/dα + d(α)/dα + ... + d(α)/dα + d(α)/dα =>

2α = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 =>

2α = α => (διαιρουμε με το μη μηδενικο α)

2 = 1

 

Που ειναι το λαθος? Σε ποια γραμμη εγινε?

[flik]

Για το 1ο δεν το βρήκα, το δεύτερο είναι πιο εύκολο νομίζω.

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

Δεν ορίζεται παράγωγος καθώς το x όπως το έχεις αναπτύξει πρέπει να έχει θετικές και κυρίως ακέραιες τιμές.

 

 

 

Τώρα επεξεργάζομαι και το 1ο.

 

Ωραία πάντως αυτά με τις λάθος αποδείξεις.

[REDODIN7]

  Στις 1/3/2013 στις 8:30 ΜΜ, MJBulls23 είπε

Δεν μιλαμε για περιπου ισο με 1 ή οτι πλησιαζει το 1, ΕΙΝΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ 1.

Ισχυει δηλαδη η ισοτητα 0.99... = 1 με το ... να συμβολιζει απειρες επαναληψεις ψηφιων 9.

Αυτος που λες δεν μπορω να το καταλαβω μιλαμε για αλλους αριθμους.

Αρα δυο ευθειες που εχουν καθετη 89.999999999999999999999 μοιρες ειναι παραληλλες και επισης δυο ευθειες που εχουν γωνια μεταξυ τους 89.999999999999999999999 μοιρες ειναι τεμνομενες ?  

[MJBulls23]

  Στις 1/3/2013 στις 9:06 ΜΜ, flik είπε

Για το 1ο δεν το βρήκα, το δεύτερο είναι πιο εύκολο νομίζω.

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

Δεν ορίζεται παράγωγος καθώς το x όπως το έχεις αναπτύξει πρέπει να έχει θετικές και κυρίως ακέραιες τιμές.

 

 

Σωστα. Και ο λογος:

 

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

Η λαθος γραμμη ειναι η :

α^2 = α + α + α + ... + α + α

Που γραφτηκε διοτι υπονοηθηκε η ισοτητα α·α = α + α + α + ... + α

Που δεν ισχυει!

Αφου ναι μεν εαν το α ειναι 4 πχ εχουμε 4·4 = 4 + 4 + 4 + 4, αλλά εαν το α ειναι -7 πχ ή 9.3 πχ τοτε δεν οριζεται ο πολλαπλασιασμος ετσι και δεν μπορουμε να τον γραψουμε υπο μορφη τετοιου αθροισματος.

 

ΟΜΩΣ(οι περισσοτεροι που βαζουν το προβλημα σταματανε εδω στο οτι πρεπει ο λυτης να ανακαλυψει αυτο το "τρυκ" οπου δεν ισχυει το προαναφερθεν, αλλά εγω το συνεχιζω σε κατι λιγο βαθυτερο):

Ομως λοιπον, ΕΑΝ το α ειναι πραγματι θετικο και ακεραιο και μαλιστα μεγαλυτερο και του 2 πχ, τοτε να λυθει το ιδιο προβλημα για αυτες τις υποθεσεις. Και η λυση του οδηγει στο ιδιο πραγμα, στο ιδιο παραδοξο 2=1. Δηλαδη εχουμε:

 

Ισχυει για εναν ακεραιο θετικο αριθμο μεγαλυτερο του 2:

α^2 = α·α => (αναπτυσσουμε το 5·5 πχ σε 5+5+5+5+5 και αυτη τη φορα μπορουμε!)

α^2 = α + α + α + ... + α + α => (παραγωγιζουμε ως προς α)

d(α^2)/dα = d(α + α + α + ... + α + α)/dα =>

2α = d(α)/dα + d(α)/dα + d(α)/dα + ... + d(α)/dα + d(α)/dα =>

2α = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 =>

2α = α => (διαιρουμε με το μη μηδενικο α)

2 = 1

 

Που ειναι το λαθος? Σε ποια γραμμη εγινε?

 

 

 

  Στις 1/3/2013 στις 9:44 ΜΜ, REDODIN7 είπε

Αυτος που λες δεν μπορω να το καταλαβω μιλαμε για αλλους αριθμους.

Δεν εχει σημασια αν μπορεις να το καταλαβεις ή οχι. Αυτο το ξερουμε απο τον 19ο αιωνα οτι ισχυει.

Οτι δηλαδη 0.99... = 1

οτι 3.9999... = 4

οτι 9.999... = 10

οτι 0.359999...= 0.36

κλπ....

 

Προφανως δεν εχεις κατανοησει την εννοια των αριθμων με βαση το 10 και την εννοια του απειρου.

Διαβασε ενα καλο βιβλιο αναλυσης και πιθανοτατα θα το καταλαβεις γιατι ισχυουν ολα αυτα.

[MaXmaD]

  Στις 27/2/2013 στις 4:15 ΜΜ, brickoman είπε

Τα πολλά εννιάρια συμβολίζονται με ένα e μετά το 0,999999 γίνεται δηλαδή 0,999999e.

 

Μπορεις να δωσεις μια πηγη για αυτον τον συμβολισμο?

[SpirtouLisS]

ε μιας και πιασαμε τα μαθηματικα παραδοξα (που λεει ο λογος οφθαλμαπατες ειναι ουσιαστικα...) ας πεταξω και εγω το στατιστικο παραδοξο (που καποτε βρηκε και εφαρμογη στο μεγαλο παζαρι με το μικρουτσικο)

 

εστω οτι συναντας ενα παπατζη στο δρομο. σου δειχνει 3 χαρτια. στο 1 χαρτι κρυβεται ο ρηγας και στα αλλα 2 ασχετα χαρτια.επιλεγεις ενα χαρτι το περνεις στη μερια σου αλλα δεν το βλεπεις. ο παπατζης σε ολους ανοιγει ενα απο τα 2 υπολειπομενα χαρτια και σου δειχνει ενα ασχετο φυλλο και σου κανει την προταση να αλλαξει το χαρτι σου με το 3ο χαρτι που υπολλειπεται κλειστο κατω. Ετσι λοιπον κανει και σε σενα. Εσυ θες στο τελος της ολης διαδικασιας να εχεις το χαρτι με τον ρηγά. Τι κανεις τωρα? Αλλαζεις ή δεν αλλαζεις το χαρτι που τραβηξες αρχικα? Σε συμφερει να αλλαξεις το χαρτι στατιστικα-μαθηματικα ή κανει το ιδιο?

 

απαντηση στο spoiler

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

αν δεν αλλαζεις χαρτι στο τελος.

πιθανοτητες να βρεις τον ρηγα

[ασχετο φυλλο1]    [ασχετο φυλλο2]    [Ρηγας]

επιλεγεις ενα απο τα 3.

πιθανοτητα P[να εχεις επιλεξει το ρηγα]=πληθος ευνοικων περιπτωσεων/συνολο περιπτωσεων=1/3

 

αν επιλεγεις τυχαία το αν θα αλλάξεις ή οχι. δηλάδή άλλοτε αλλάζεις άλλοτε οχι

η πιθανότητα πλεον να έχεις το ρήγα στο τέλος αλλάζει αφου εχει ανοιξει ενα χαρτι με ενα ασχετο φυλλο και καλείσαι να διαλέξεις μεταξύ 2 φύλλων και οχι 3. Δηλαδη καλεισε να επιλεξεις μεταξυ του φυλλου που κρατας και του φυλλου που ειναι κλειστο κατω. το ένα έχει το ρήγα και το αλλο ένα ασχετο φύλλο.

αρα η πιθανοτητα ειναι 1/2

 

αν αλλαζεις ΠΑΝΤΑ χαρτι στο τελος

πιθανοτητες να βρεις τον ρηγα

 

ΥΠΟΘΕΣΗ 1η. εστω οτι στην αρχη διαλεξες το [ασχετο φυλλο1]. Απομενουν κατω το [ασχετο φυλλο2] και ο [Ρηγας]

ο παπατζης σου ανοιγει το χαρτι με το [ασχετο φυλλο2] και σου κανει προταση να αλλαξεις. Αν αλλαξεις...περνεις το [Ρηγα] με πιθανοτητα 100%

 

ΥΠΟΘΕΣΗ 2η. εστω οτι στην αρχη διαλεξες το [ασχετο φυλλο2]. Απομενουν κατω το [ασχετο φυλλο1] και ο [Ρηγας]

ο παπατζης σου ανοιγει το χαρτι με το [ασχετο φυλλο1] και σου κανει προταση να αλλαξεις. Αν αλλαξεις...περνεις το [Ρηγα] με πιθανοτητα 100%

 

ΥΠΟΘΕΣΗ 3η. εστω οτι στην αρχη διαλεξες το [Ρηγα]. Απομενουν κατω το [ασχετο φυλλο2] και το [ασχετο φυλλο1]

ο παπατζης σου ανοιγει ενα απο τα 2 ασχετα φυλλα. Σημασια δεν εχει ποιο. Εφοσον θα αλλαξεις σιγουρα θα παρεις το αλλο φυλο και θα ''χασεις'' αφου θα ανταλλαξεις το ρηγα που κρατουσες. Αρα αν στην αρχη επελεξες το ρηγα χανεις 100% ή αντιστοιχα κερδιζεις με πιθανοτητα 0%...

 

P [να επιλεξεις το Ρηγα]= πληθος ευνοικων υποθεσεων/πληθος υποθεσεων=2/3

 

αρα. αν δεν αλλάζεις φυλλο εχεις πιθανοτητα 1/3 να βρεις τον παπα

αν αλλοτε αλλάζει αλλοτε οχι εχεις πιθανοτητα 1/2

αν αλλάζεις παντα το φυλλο σου στην προταση του παπατζη εχεις πιθανοτητα 2/3.

1/3 < 1/2 < 2/3 αρα σε συμφέρει να αλλάζεις παντα το φυλλο σου

 

 

 

επειδη δεν ειμαι μαθηματικος ισως το παραπανω δεν ειναι παραδοξο αλλα εχει καποια παγιδα στα μαθηματικα και ουσιαστικα δεν εχει σημασια τι θα κανεις. αν θα αλλαξεις ή οχι το χαρτι σου ή οπως το αναλυω εγω σφαλλω. καθε κριτικη και βρισιμο ή αποδειξη οτι εγω εχω πεσει στην παγιδα του προβληματος  εννοειτε ευπροσδεκτη

[flik]

  Στις 1/3/2013 στις 9:51 ΜΜ, MJBulls23 είπε

Σωστα. Και ο λογος:

 

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

ΟΜΩΣ(οι περισσοτεροι που βαζουν το προβλημα σταματανε εδω στο οτι πρεπει ο λυτης να ανακαλυψει αυτο το "τρυκ" οπου δεν ισχυει το προαναφερθεν, αλλά εγω το συνεχιζω σε κατι λιγο βαθυτερο):

Ομως λοιπον, ΕΑΝ το α ειναι πραγματι θετικο και ακεραιο και μαλιστα μεγαλυτερο και του 2 πχ, τοτε να λυθει το ιδιο προβλημα για αυτες τις υποθεσεις. Και η λυση του οδηγει στο ιδιο πραγμα, στο ιδιο παραδοξο 2=1. Δηλαδη εχουμε:

 

Ισχυει για εναν ακεραιο θετικο αριθμο μεγαλυτερο του 2:

α^2 = α·α => (αναπτυσσουμε το 5·5 πχ σε 5+5+5+5+5 και αυτη τη φορα μπορουμε!)

α^2 = α + α + α + ... + α + α => (παραγωγιζουμε ως προς α)

d(α^2)/dα = d(α + α + α + ... + α + α)/dα =>

2α = d(α)/dα + d(α)/dα + d(α)/dα + ... + d(α)/dα + d(α)/dα =>

2α = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 =>

2α = α => (διαιρουμε με το μη μηδενικο α)

2 = 1

 

Που ειναι το λαθος? Σε ποια γραμμη εγινε?

 

 

Ναι, εννοούσα οτι

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

ακόμα και με θετικές ακέραιες τιμές, πάλι δεν μπορείς να παραγωγίσεις, δεν μπορείς να πάρεις διαφορικό dx γιατί το Δx είναι πάντα >=1.

 

 

[MJBulls23]

  Στις 1/3/2013 στις 11:05 ΜΜ, flik είπε

Ναι, εννοούσα οτι

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

ακόμα και με θετικές ακέραιες τιμές, πάλι δεν μπορείς να παραγωγίσεις, δεν μπορείς να πάρεις διαφορικό dx γιατί το Δx είναι πάντα >=1.

 

 

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

Ναι, βασικα δηλαδη η συναρτηση α^2 με α θετικο ακεραιο δεν ειναι συνεχης αρα και μη παραγωγισιμη.

Αυτη ειναι η απαντηση του 2ου εναλλακτικου ερωτηματος δηλαδη.

 

 

  Στις 1/3/2013 στις 10:57 ΜΜ, SpirtouLisS είπε

ε μιας και πιασαμε τα μαθηματικα παραδοξα (που λεει ο λογος οφθαλμαπατες ειναι ουσιαστικα...) ας πεταξω και εγω το στατιστικο παραδοξο (που καποτε βρηκε και εφαρμογη στο μεγαλο παζαρι με το μικρουτσικο)

 

εστω οτι συναντας ενα παπατζη στο δρομο. σου δειχνει 3 χαρτια. στο 1 χαρτι κρυβεται ο ρηγας και στα αλλα 2 ασχετα χαρτια.επιλεγεις ενα χαρτι το περνεις στη μερια σου αλλα δεν το βλεπεις. ο παπατζης σε ολους ανοιγει ενα απο τα 2 υπολειπομενα χαρτια και σου δειχνει ενα ασχετο φυλλο και σου κανει την προταση να αλλαξει το χαρτι σου με το 3ο χαρτι που υπολλειπεται κλειστο κατω. Ετσι λοιπον κανει και σε σενα. Εσυ θες στο τελος της ολης διαδικασιας να εχεις το χαρτι με τον ρηγά. Τι κανεις τωρα? Αλλαζεις ή δεν αλλαζεις το χαρτι που τραβηξες αρχικα? Σε συμφερει να αλλαξεις το χαρτι στατιστικα-μαθηματικα ή κανει το ιδιο?

 

απαντηση στο spoiler

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

αν δεν αλλαζεις χαρτι στο τελος.

πιθανοτητες να βρεις τον ρηγα

[ασχετο φυλλο1]    [ασχετο φυλλο2]    [Ρηγας]

επιλεγεις ενα απο τα 3.

πιθανοτητα P[να εχεις επιλεξει το ρηγα]=πληθος ευνοικων περιπτωσεων/συνολο περιπτωσεων=1/3

 

αν επιλεγεις τυχαία το αν θα αλλάξεις ή οχι. δηλάδή άλλοτε αλλάζεις άλλοτε οχι

η πιθανότητα πλεον να έχεις το ρήγα στο τέλος αλλάζει αφου εχει ανοιξει ενα χαρτι με ενα ασχετο φυλλο και καλείσαι να διαλέξεις μεταξύ 2 φύλλων και οχι 3. Δηλαδη καλεισε να επιλεξεις μεταξυ του φυλλου που κρατας και του φυλλου που ειναι κλειστο κατω. το ένα έχει το ρήγα και το αλλο ένα ασχετο φύλλο.

αρα η πιθανοτητα ειναι 1/2

 

αν αλλαζεις ΠΑΝΤΑ χαρτι στο τελος

πιθανοτητες να βρεις τον ρηγα

 

ΥΠΟΘΕΣΗ 1η. εστω οτι στην αρχη διαλεξες το [ασχετο φυλλο1]. Απομενουν κατω το [ασχετο φυλλο2] και ο [Ρηγας]

ο παπατζης σου ανοιγει το χαρτι με το [ασχετο φυλλο2] και σου κανει προταση να αλλαξεις. Αν αλλαξεις...περνεις το [Ρηγα] με πιθανοτητα 100%

 

ΥΠΟΘΕΣΗ 2η. εστω οτι στην αρχη διαλεξες το [ασχετο φυλλο2]. Απομενουν κατω το [ασχετο φυλλο1] και ο [Ρηγας]

ο παπατζης σου ανοιγει το χαρτι με το [ασχετο φυλλο1] και σου κανει προταση να αλλαξεις. Αν αλλαξεις...περνεις το [Ρηγα] με πιθανοτητα 100%

 

ΥΠΟΘΕΣΗ 3η. εστω οτι στην αρχη διαλεξες το [Ρηγα]. Απομενουν κατω το [ασχετο φυλλο2] και το [ασχετο φυλλο1]

ο παπατζης σου ανοιγει ενα απο τα 2 ασχετα φυλλα. Σημασια δεν εχει ποιο. Εφοσον θα αλλαξεις σιγουρα θα παρεις το αλλο φυλο και θα ''χασεις'' αφου θα ανταλλαξεις το ρηγα που κρατουσες. Αρα αν στην αρχη επελεξες το ρηγα χανεις 100% ή αντιστοιχα κερδιζεις με πιθανοτητα 0%...

 

P [να επιλεξεις το Ρηγα]= πληθος ευνοικων υποθεσεων/πληθος υποθεσεων=2/3

 

αρα. αν δεν αλλάζεις φυλλο εχεις πιθανοτητα 1/3 να βρεις τον παπα

αν αλλοτε αλλάζει αλλοτε οχι εχεις πιθανοτητα 1/2

αν αλλάζεις παντα το φυλλο σου στην προταση του παπατζη εχεις πιθανοτητα 2/3.

1/3 < 1/2 < 2/3 αρα σε συμφέρει να αλλάζεις παντα το φυλλο σου

 

 

 

επειδη δεν ειμαι μαθηματικος ισως το παραπανω δεν ειναι παραδοξο αλλα εχει καποια παγιδα στα μαθηματικα και ουσιαστικα δεν εχει σημασια τι θα κανεις. αν θα αλλαξεις ή οχι το χαρτι σου ή οπως το αναλυω εγω σφαλλω. καθε κριτικη και βρισιμο ή αποδειξη οτι εγω εχω πεσει στην παγιδα του προβληματος  εννοειτε ευπροσδεκτη

 

 Σωστα τα λες και αυτο ειναι το πασιγνωστο Monty Hall problem. Οπου υπηρχε τηλεπαιχνιδι με αυτο. Που ομως οι παικτες δεν γνωριζαν μαθηματικα και ετσι δεν αλλαζανε καθε φορα την πορτα ωστε να μεγιστοποιησουν τις πιθανοτητες να κερδισουν.

[REDODIN7]

  Στις 1/3/2013 στις 9:51 ΜΜ, MJBulls23 είπε

Σωστα. Και ο λογος:

 

 

  Εμφάνιση κρυμμένου περιεχομένου

 

Η λαθος γραμμη ειναι η :

α^2 = α + α + α + ... + α + α

Που γραφτηκε διοτι υπονοηθηκε η ισοτητα α·α = α + α + α + ... + α

Που δεν ισχυει!

Αφου ναι μεν εαν το α ειναι 4 πχ εχουμε 4·4 = 4 + 4 + 4 + 4, αλλά εαν το α ειναι -7 πχ ή 9.3 πχ τοτε δεν οριζεται ο πολλαπλασιασμος ετσι και δεν μπορουμε να τον γραψουμε υπο μορφη τετοιου αθροισματος.

 

ΟΜΩΣ(οι περισσοτεροι που βαζουν το προβλημα σταματανε εδω στο οτι πρεπει ο λυτης να ανακαλυψει αυτο το "τρυκ" οπου δεν ισχυει το προαναφερθεν, αλλά εγω το συνεχιζω σε κατι λιγο βαθυτερο):

Ομως λοιπον, ΕΑΝ το α ειναι πραγματι θετικο και ακεραιο και μαλιστα μεγαλυτερο και του 2 πχ, τοτε να λυθει το ιδιο προβλημα για αυτες τις υποθεσεις. Και η λυση του οδηγει στο ιδιο πραγμα, στο ιδιο παραδοξο 2=1. Δηλαδη εχουμε:

 

Ισχυει για εναν ακεραιο θετικο αριθμο μεγαλυτερο του 2:

α^2 = α·α => (αναπτυσσουμε το 5·5 πχ σε 5+5+5+5+5 και αυτη τη φορα μπορουμε!)

α^2 = α + α + α + ... + α + α => (παραγωγιζουμε ως προς α)

d(α^2)/dα = d(α + α + α + ... + α + α)/dα =>

2α = d(α)/dα + d(α)/dα + d(α)/dα + ... + d(α)/dα + d(α)/dα =>

2α = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 =>

2α = α => (διαιρουμε με το μη μηδενικο α)

2 = 1

 

Που ειναι το λαθος? Σε ποια γραμμη εγινε?

 

 

 Δεν εχει σημασια αν μπορεις να το καταλαβεις ή οχι. Αυτο το ξερουμε απο τον 19ο αιωνα οτι ισχυει.

Οτι δηλαδη 0.99... = 1

οτι 3.9999... = 4

οτι 9.999... = 10

οτι 0.359999...= 0.36

κλπ....

 

Προφανως δεν εχεις κατανοησει την εννοια των αριθμων με βαση το 10 και την εννοια του απειρου.

Διαβασε ενα καλο βιβλιο αναλυσης και πιθανοτατα θα το καταλαβεις γιατι ισχυουν ολα αυτα.

Μπορεις να μου δωσεις καποιον συνδεσμο ?

 

Οποτε συμφωνα με τα λεγομενα σου στην συναρτηση της πυκνοτητας μπορω να βαλω οπου 1 το 0.9999999e ? 

[MJBulls23]

  Στις 1/3/2013 στις 11:23 ΜΜ, REDODIN7 είπε

Μπορεις να μου δωσεις καποιον συνδεσμο ?

Ε κανε μια αναζητηση 1 = 0.999... και θα βρεις ο,τι θελεις.

Αλλά καλυτερα να δεις ενα βιβλιο αναλυσης για να καταλαβεις την εννοια του απειρου και να παρακολουθησεις απο την αρχη το "χτισιμο" των αριθμων ωστε να καταλαβεις οτι καθε αριθμος δεν εχει μόνο εναν γενικο τροπο δεκαδικης αναπαραστασης αλλά 2.

Πχ το κλασικο θρυλικο εργο του Αποστολ, Mathematical Analysis το εχει στα αρχικα κεφαλαια απο οσο θυμαμαι.

 

  Αναφορά σε κείμενο

Οποτε συμφωνα με τα λεγομενα σου στην συναρτηση της πυκνοτητας μπορω να βαλω οπου 1 το 0.9999999e ? 

Μα φυσικα αφου ειναι ισα.

Το e βασικα δεν ξερω τι ρολο παιζει καθως δεν το εχω συναντησει για να αναπαριστα απειρη επαναληψη καποιας ομαδας ψηφιων, αλλά το εκλαμβανω ως συμβολισμο για να δειχνει αυτο ακριβως, απειρα 9ρια δηλαδη.

[παπι]

  Στις 1/3/2013 στις 11:23 ΜΜ, REDODIN7 είπε

Μπορεις να μου δωσεις καποιον συνδεσμο ?

 

Οποτε συμφωνα με τα λεγομενα σου στην συναρτηση της πυκνοτητας μπορω να βαλω οπου 1 το 0.9999999e ? 

Μπορεις να βαλεις οπου 1 το  1΄/ 9 * 9 

  Στις 2/3/2013 στις 12:43 ΠΜ, MJBulls23 είπε

Το e βασικα δεν ξερω τι ρολο παιζει καθως δεν το εχω συναντησει

Στο προγραμματισμο παιζει το ρολο του μικροτερου αριθμου. (βασικα αυτου που ειναι μετα το 0)

[REDODIN7]

  Στις 2/3/2013 στις 1:00 ΠΜ, παπι είπε

Μπορεις να βαλεις οπου 1 το  1΄/ 9 * 9 Στο προγραμματισμο παιζει το ρολο του μικροτερου αριθμου. (βασικα αυτου που ειναι μετα το 0)

Στο πραγραμματισμο τουλαχιστον στα βασικσ που ξερω το νουμερο διαβαζετε αναλογα το μεγεθος ετσι λοιον εχουν το byte, word, longword.

 

Δεν πιστευω λοιπον οτι αν βαλεις να διαβασει το 1 σαν byte και το 0.99999999999 σαν byte θα μπορει να το κανει.

 

Υ.Γ

Μπορει να ειμαι και λαθος ξερω μονο τα βασικα

 

  Στις 2/3/2013 στις 12:43 ΠΜ, MJBulls23 είπε

Ε κανε μια αναζητηση 1 = 0.999... και θα βρεις ο,τι θελεις.

Αλλά καλυτερα να δεις ενα βιβλιο αναλυσης για να καταλαβεις την εννοια του απειρου και να παρακολουθησεις απο την αρχη το "χτισιμο" των αριθμων ωστε να καταλαβεις οτι καθε αριθμος δεν εχει μόνο εναν γενικο τροπο δεκαδικης αναπαραστασης αλλά 2.

Πχ το κλασικο θρυλικο εργο του Αποστολ, Mathematical Analysis το εχει στα αρχικα κεφαλαια απο οσο θυμαμαι.

 Μα φυσικα αφου ειναι ισα.

Το e βασικα δεν ξερω τι ρολο παιζει καθως δεν το εχω συναντησει για να αναπαριστα απειρη επαναληψη καποιας ομαδας ψηφιων, αλλά το εκλαμβανω ως συμβολισμο για να δειχνει αυτο ακριβως, απειρα 9ρια δηλαδη.

Δηλαδη σε ενα πεδιο τιμων που θελουμε μονο θετικους και το 0 μπορει να βαλουμε και το -0,00000000000000000001΄?