Ερώτηση πιθανοτήτων..

[Malthador]

Ναι κι εγώ σήμερα που ξύπνησα έκανα αυτό το απλό. Καταγραφή δειγματοχώρου, και όντως είναι 5/9 και στις δύο περιπτώσεις...

Και φυσικά είναι το ίδιο και στις 2 περιπτώσεις.

 

 

Βαριόμουν να το κάνω, αλλά με αναγκάζεις να το κάνω. :Ρ

 

Αν ρίξω δύο ζάρια ταυτόχρονα, ο δειγματοχώρος είναι

 

Ω={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (1,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

 

Ο δειγματικός χώρος έχει 36 στοιχεία και έχω μαυρίσει τα στοιχεία που ζητάμε και είναι 20 στο σύνολο. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 20/36 ή 5/9.

 

Στην περίπτωση που ρίχνω ένα ζάρι δυό φορές, έχω δύο ενδεχόμενα:

 

i) Το ζάρι φέρνει 5 ή 6 στην πρώτη ζαριά. Η πιθανότητα είναι 1/3.

 

ii) Το ζάρι φέρνει 5 ή 6 στη δεύτερη ζαριά. Η πιθανότητα να ρίξω δεύτερη ζαριά είναι 1-1/3=2/3 και ο δειγματικός χώρος σε αυτή την περίπτωση θα είναι:

 

Ω'={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

 

Ο δειγματικός χώρος έχει 24 στοιχεία εκ των οποίων τα 8 είναι που ζητάμε. Η πιθανότητα είναι 8/24=1/3. Η πιθανότητα να μην φέρω 5 ή 6 στην πρώτη ζαριά και να το φέρω στην δεύτερη είναι ίση με (2/3)*(1/3)=2/9.

 

Τα ενδεχόμενα i και ii είναι ανεξάρτητα, ασυμβίβαστα κλπ, άρα η συνολική πιθανότητα θα είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους, δηλαδή 1/3 + 2/9=3/9 + 2/9 = 5/9.

 

 

 

Άρα έκανα λάθος (όπως και ο FilipposMD) κι έχεις δίκιο εσύ.

[flik]

Το ίδιο λέμε. Βασικά πρώτα ο Φίλιππος μίλησε για 5/9 και συμφώνησες και εγώ διαφώνησα

Και επειδή δεν πίστευα οτι διαφορετικές πιθανότητες στις δύο περιπτώσεις, το θεώρησα λάθος, ενώ επρεπε να διερευνήσω καλύτερα τη πιθανότητα για την άλλη περίπτωση, με τα 2 ζάρια ταυτόχρονα.

 

Εγώ απο την αρχή θεωρούσα de facto οτι πρέπει να βγει ίδια πιθανότητα. Κακώς βέβαια, γιατί αυτό, σε συνδυασμό με το ότι θεωρούσα λαθεμένα οτι αυτή η πιθανότητα πρέπει να είναι 2/3 στα ταυτόχρονα ζάρια, οδηγήθηκα σε λάθος αποτέλεσμα. Έτσι συμβαίνει, όταν ξεκινάς και θέλεις να φτάσεις κάπου συγκεκριμένα, ασυναίσθητα κάνεις λάθος για να φτάσεις στο αποτέλεσμα που θεώρησες σωστό.

 

5/9λοιόν και στις 2 περιπτώσεις, όχι, δεν το περίμενα...

[FilipposMD]

Με λίγα λόγια, κανείς δεν το πέτυχε με την πρώτη

[Dark_Duck]

οκ ξεμπερδευτικα! Να υποθέσω πως ανεξάρτητα απο το ζητούμενο νούμερο οι πιθανότητες θα ειναι οι ίδιες. Δηλαδή και πάνω απο δυο (2+) να θέλω να φέρω τα ενδεχόμενα ειναι πάλι ισοδύναμα όποιον τρόπο και να ακολουθήσω.

[flik]

Ναι όντως

 

Και τέλος, στη δεύτερη περίπτωση, με τα ταυτόχρονα ζάρια, βγαίνει 5/9, γιατι τα σύνολα δεν είναι ξένα. Δηλαδή το πρώτο ζάρι να έχει 5,6 ή το δεύτερο ζάρι να έχει 5,6 έχουν τομή ως σύνολα, σε 4 περιπτώσεις (5,5 5,6 6,5 6,6).

Άρα είναι

 

και βγαίνει P = 1/3 + 1/3 - 4/36 = 6/9 - 1/9 = 5/9.

 

Δεν πρέπει να παίρνουμε απλά 1/3 του ενός ζαριού και 1/3 του άλλου, αφού είναι σύνολα με κοινά σημεία.

 

Έχω ξεχάσει πλήρως τη θεωρία μετα απο μερικά χρόνια... Ευτυχώς υπάρχουν αφορμές και τα ξαναθυμόμαστε.