Ερώτηση πιθανοτήτων..

[Dark_Duck]

Λοιπόν η ερώτηση εχει ώς εξής.

 

Το πείραμα έχει ως εξής. Θέλουμε με ενα εξάρι ζάρι 1D6 να φέρουμε πάνω απο 4 και έχουμε την δυνατότητα να ξαναρίξουμε το ζάρι μια φορά αν αποτύχουμε.

Η ερώτηση είναι η εξής.

Είναι το ίδιο να ρίξω το ζάρι και να το ξαναρίξω αν δεν φερω πάνω απο 4 και το ίδιο να ρίξω εξ αρχής δύο ζάρια περιμένοντας ένα από τα δύο να φέρει πάνω απο 4? Δηλαδή η πιθανότητες να φέρω το επιθυμητό αποτέλεσμα ειναι οι ίδιες όποιον απο τους δύο τρόπου και αν ακολουθήσω? Ευχαριστώ εκ των προτέρων όσους ασχοληθούν.

[Chrisxxx]

Μπακαλιστικα και χωρις να ειμαι απόλυτα σιγουρος: την 1η φορα εχεις 1/2 πιθανοτητες στην 1η ριψη και μετα αλλο 1/2 στη 2η. Αρα 1/2*1/2 ??

ενω τη 2η φορα 1/2.

[flik]

Είναι το ίδιο. Αν ρίξεις ένα ζάρι, να φέρεις πάνω απο 4 (άρα 5 ή 6 για να εξηγούμαστε) εχει πιθανότητα 2/6, δηλαδή 1/3.

Επειδή έχεις 2 προσπάθειες, δυο επαναλήψεις δηλαδή, οι πιθανότητές σου διπλασιάζονται, πηγαίνουν 1/3 + 1/3 δηλαδή 2/3.

Πολλαπλασιασμό κάνουμε μόνο αν θέλουμε και στη μία ρίψη και στην άλλη να έχουμε πάνω απο 4. Γι' αυτό βγαίνει 1/6. Τώρα που θες το ένα ζάρι ή το άλλο, τις προσθέτεις.

 

Στη δεύτερη μέθοδο, έχεις 2 ζάρια, και θες πάλι το ένα ή το άλλο να έχουν 5 ή 6. Πάλι είναι 2*(1/3).

 

Είναι το ίδιο πράγμα. Εφόσον βέβαια δεν σε "ενοχλεί" στη δεύτερη περίπτωση να έρθουν και τα 2 ζάρια πάνω απο 4.

[kuzko21]

 

Είναι το ίδιο να ρίξω το ζάρι και να το ξαναρίξω αν δεν φερω πάνω απο 4 και το ίδιο να ρίξω εξ αρχής δύο ζάρια περιμένοντας ένα από τα δύο να φέρει πάνω απο 4? Δηλαδή η πιθανότητες να φέρω το επιθυμητό αποτέλεσμα ειναι οι ίδιες όποιον απο τους δύο τρόπου και αν ακολουθήσω? Ευχαριστώ εκ των προτέρων όσους ασχοληθούν.

 

για καθε ρηψη καθε ζαριου η πιθανοτητα ειναι 2/6 (εαν θες μονο πανω απο 4) η 3/6 (εαν θες και το 4)

 

οποτε ειναι το ιδιο πραγμα ειτε ριξεις ενα ζαρι δυο φορες , ειτε ριξεις δυο ζαρια μαζι.

[FilipposMD]

Λοιπόν η ερώτηση εχει ώς εξής.

 

Το πείραμα έχει ως εξής. Θέλουμε με ενα εξάρι ζάρι 1D6 να φέρουμε πάνω απο 4 και έχουμε την δυνατότητα να ξαναρίξουμε το ζάρι μια φορά αν αποτύχουμε.

Η ερώτηση είναι η εξής.

Είναι το ίδιο να ρίξω το ζάρι και να το ξαναρίξω αν δεν φερω πάνω απο 4 και το ίδιο να ρίξω εξ αρχής δύο ζάρια περιμένοντας ένα από τα δύο να φέρει πάνω απο 4? Δηλαδή η πιθανότητες να φέρω το επιθυμητό αποτέλεσμα ειναι οι ίδιες όποιον απο τους δύο τρόπου και αν ακολουθήσω? Ευχαριστώ εκ των προτέρων όσους ασχοληθούν.

Εγώ θα διαφωνήσω με τους προηγούμενους, αλλά με επιφύλαξη. Παραθέτω την σκέψη μου και κρίνεις εσύ αν σου φαίνεται πιο λογική:

 

Ρίχνεις το ζάρι σου. Η πιθανότητα να φέρεις >4 είναι 2/6=1/3, ενώ η πιθανότητα να φέρεις 4 ή λιγότερο είναι 4/6=2/3.

Το ζάρι δεν θα το ξαναρίξεις όλες τις φορές, αλλά μόνο αν δεν έχεις φέρει >4 στην πρώτη ζαριά. Άρα, θα το ξαναρίξεις στα 2/3 των περιπτώσεων. Φυσικά, όταν θα ξαναρίξεις, η πιθανότητα να έρθει >4 είναι πάλι 1/3. Συνολικά όμως, για την δεύτερη ζαριά, η πιθανότητα είναι 1/3 επί 2/3=2/9, γιατί μόνο στα 2/3 των περιπτώσεων θα υπάρξει δεύτερη ζαριά. Επομένως, για να ικανοποιηθεί η συνθήκη που έθεσες (το >4) οι πιθανότητες είναι 1/3+2/9=5/9.

Όπως είπαν και τα παιδιά, αν τα ρίξεις ταυτόχρονα, η πιθανότητα είναι 2/3, δηλαδή 6/9. Άρα, το να τα ρίξεις ταυτόχρονα σου αυξάνει τις πιθανότητες.

 

Χμ, πώς σας φαίνεται;

[DrLo]

Είναι το ίδιο. Αν ρίξεις ένα ζάρι, να φέρεις πάνω απο 4 (άρα 5 ή 6 για να εξηγούμαστε) εχει πιθανότητα 2/6, δηλαδή 1/3.

Επειδή έχεις 2 προσπάθειες, δυο επαναλήψεις δηλαδή, οι πιθανότητές σου διπλασιάζονται, πηγαίνουν 1/3 + 1/3 δηλαδή 2/3.

Πολλαπλασιασμό κάνουμε μόνο αν θέλουμε και στη μία ρίψη και στην άλλη να έχουμε πάνω απο 4. Γι' αυτό βγαίνει 1/6. Τώρα που θες το ένα ζάρι ή το άλλο, τις προσθέτεις.

 

Στη δεύτερη μέθοδο, έχεις 2 ζάρια, και θες πάλι το ένα ή το άλλο να έχουν 5 ή 6. Πάλι είναι 2*(1/3).

 

Είναι το ίδιο πράγμα. Εφόσον βέβαια δεν σε "ενοχλεί" στη δεύτερη περίπτωση να έρθουν και τα 2 ζάρια πάνω απο 4.

 

Προφανώς και όχι

 

Αν ενδιαφέρεσαι για τη πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον ένα "4" τότε ναι είναι το ίδιο

 

απλά το 1/3 + 1/3 = 2/3 που αναφέρεται δεν ισχύει

[Haldol]

Οι πιθανότητες φυσικά και δεν διπλασιάζονται με 2η ρίψη.

 

Εάν αυτό ίσχυε, με τρίτη ρίψη, θα τριπλασιάζονταν. Δηλαδή θα είχαμε 6/6 πιθανότητα να φέρουμε 5 ή 6 αν ρίξουμε ένα ζάρι 3 φορές, κάτι που οποιοσδήποτε καταλαβαίνει ότι δεν ισχύει.

 

Η κάθε ρίψη είναι ανεξάρτητη από την προηγούμενη, κάθε φορά που ρίχνουμε το ζάρι θα έχουμε πιθανότητα 2/6 να φέρουμε 5 ή 6. Ένα εκατομμύριο φορές να ρίξουμε, πάλι 2/6 θα είναι η πιθανότητα.

[flik]

Λάθος τοποθετήθηκα. Δεν εννοούσα το δεύτερο ζάρι θα έχει πιθανότητες 4/6 αλλά επειδή θα έχεις ρίξει 2 φορές, θα έχεις διπλάσιες πιθανότητες να έρθει ένα 5 ή ένα 6άρι.

[Malthador]

Εγώ θα διαφωνήσω με τους προηγούμενους, αλλά με επιφύλαξη. Παραθέτω την σκέψη μου και κρίνεις εσύ αν σου φαίνεται πιο λογική:

 

Ρίχνεις το ζάρι σου. Η πιθανότητα να φέρεις >4 είναι 2/6=1/3, ενώ η πιθανότητα να φέρεις 4 ή λιγότερο είναι 4/6=2/3.

Το ζάρι δεν θα το ξαναρίξεις όλες τις φορές, αλλά μόνο αν δεν έχεις φέρει >4 στην πρώτη ζαριά. Άρα, θα το ξαναρίξεις στα 2/3 των περιπτώσεων. Φυσικά, όταν θα ξαναρίξεις, η πιθανότητα να έρθει >4 είναι πάλι 1/3. Συνολικά όμως, για την δεύτερη ζαριά, η πιθανότητα είναι 1/3 επί 2/3=2/9, γιατί μόνο στα 2/3 των περιπτώσεων θα υπάρξει δεύτερη ζαριά. Επομένως, για να ικανοποιηθεί η συνθήκη που έθεσες (το >4) οι πιθανότητες είναι 1/3+2/9=5/9.

Όπως είπαν και τα παιδιά, αν τα ρίξεις ταυτόχρονα, η πιθανότητα είναι 2/3, δηλαδή 6/9. Άρα, το να τα ρίξεις ταυτόχρονα σου αυξάνει τις πιθανότητες.

 

Χμ, πώς σας φαίνεται;

 

 

Ακριβώς όπως τα είπες είναι.

[flik]

Νομίζω Φίλιππε αυτό που λες, είναι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α και το γεγονός Β.

 

Όμως αντιμετωπίζεις τα γεγονότα ως μη αδέσμευτα. Δεν είναι δεσμευμένα; Αφού η ρίψη του δεύτερου ζαριού εξαρτάται απο το πρώτο; Ή θυμάμαι εντελώς λάθος την έννοια των δεσμευμένων πιθανοτήτων;

 

Είμαι κουρασμένος σήμερα πολύ, δεν μπορώ να θυμηθώ τον τύπο, ακόμα και πριν τοποθετήθηκα λάθος, αλλά νομίζω πως είναι το ίδιο τελικά, ακόμα και αν το κάνουμε αναλυτικά όπως ο Φίλιππος.

 

 

Edit: Νομίζω οτι βρήκα. Έχουμε δεσμευμένα γεγονότα, άρα:

 

 

 

Άρα, 1/3 πιθανότητα να φέρουμε εξαρχής 5 ή 6. Αυτο είναι ένα σύνολο, έστω Α΄ με πιθανότητα P(Α΄)=1/3

 

Μετά, θέλουμε να συμβεί το γεγονός Β δεδομένου του Α.

Το Α είναι να μη φέρουμε 5 ή 6, άρα P(A)=2/3 και το Β είναι η δεύτερη ζαριά να φέρει 5 ή 6.

 

Θέλουμε όμως το P(B|A), δηλαδή του Β γεγονότος δεδομένου του Α.

 

Η πιθανότητα του P(ΒτομήΑ) είναι 2/9 και απο τον τύπο βγαίνει: P(B|A)=1/3

 

Άρα η ολική πιθανότητα είναι P(A') + P(B|A) = 1/3 + 1/3 = 2/3.

 

Το λάθος εν τέλει, έτσι όπως το σκέφτομαι τώρα, είναι οτι προσθέτεις P(A) + P(BτομήA).

 

Θα το ξανακοιτάξω αύριο, πολύ πιθανό να πετάω μπούρδες αυτή τη στιγμή...

[Timonkaipumpa]

Λοιπόν η ερώτηση εχει ώς εξής.

 

Το πείραμα έχει ως εξής. Θέλουμε με ενα εξάρι ζάρι 1D6 να φέρουμε πάνω απο 4 και έχουμε την δυνατότητα να ξαναρίξουμε το ζάρι μια φορά αν αποτύχουμε.

Η ερώτηση είναι η εξής.

Είναι το ίδιο να ρίξω το ζάρι και να το ξαναρίξω αν δεν φερω πάνω απο 4 και το ίδιο να ρίξω εξ αρχής δύο ζάρια περιμένοντας ένα από τα δύο να φέρει πάνω απο 4? Δηλαδή η πιθανότητες να φέρω το επιθυμητό αποτέλεσμα ειναι οι ίδιες όποιον απο τους δύο τρόπου και αν ακολουθήσω? Ευχαριστώ εκ των προτέρων όσους ασχοληθούν.

 

 

Για standard attack το θες ή για daily;

 

Ή μήπως για modifiers;

[tsapman]

Και εγώ νομίζω είναι το ίδιο. Η πρώτη περίπτωση έχει 5/9 πιθανότητες όπως αναλύθηκε παραπάνω. Αλλά στην δεύτερη περίπτωση όταν ρήξεις και τα 2 ζάρια μαζί το sample space σου είναι 6*6=36. Οι πιθανοί συνδυασμοί στους οποίους ένα απτά 2 ζάρια θα είναι 5 η 6 είναι 20. Αρα 20/36 = 5/9 . Κάνω κάτι λάθος?

[FilipposMD]

Και εγώ νομίζω είναι το ίδιο. Η πρώτη περίπτωση έχει 5/9 πιθανότητες όπως αναλύθηκε παραπάνω. Αλλά στην δεύτερη περίπτωση όταν ρήξεις και τα 2 ζάρια μαζί το sample space σου είναι 6*6=36. Οι πιθανοί συνδυασμοί στους οποίους ένα απτά 2 ζάρια θα είναι 5 η 6 είναι 20. Αρα 20/36 = 5/9 . Κάνω κάτι λάθος?

Χμ, μάλλον έχεις δίκιο. Άρα είναι ίδια η πιθανότητα, αλλά είναι 5/9 και όχι 2/3.

[Malthador]

Νομίζω Φίλιππε αυτό που λες, είναι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α και το γεγονός Β.

 

Όμως αντιμετωπίζεις τα γεγονότα ως μη αδέσμευτα. Δεν είναι δεσμευμένα; Αφού η ρίψη του δεύτερου ζαριού εξαρτάται απο το πρώτο; Ή θυμάμαι εντελώς λάθος την έννοια των δεσμευμένων πιθανοτήτων;

 

Είμαι κουρασμένος σήμερα πολύ, δεν μπορώ να θυμηθώ τον τύπο, ακόμα και πριν τοποθετήθηκα λάθος, αλλά νομίζω πως είναι το ίδιο τελικά, ακόμα και αν το κάνουμε αναλυτικά όπως ο Φίλιππος.

 

 

Edit: Νομίζω οτι βρήκα. Έχουμε δεσμευμένα γεγονότα, άρα:

 

 

 

Άρα, 1/3 πιθανότητα να φέρουμε εξαρχής 5 ή 6. Αυτο είναι ένα σύνολο, έστω Α΄ με πιθανότητα P(Α΄)=1/3

 

Μετά, θέλουμε να συμβεί το γεγονός Β δεδομένου του Α.

Το Α είναι να μη φέρουμε 5 ή 6, άρα P(A)=2/3 και το Β είναι η δεύτερη ζαριά να φέρει 5 ή 6.

 

Θέλουμε όμως το P(B|A), δηλαδή του Β γεγονότος δεδομένου του Α.

 

Η πιθανότητα του P(ΒτομήΑ) είναι 2/9 και απο τον τύπο βγαίνει: P(B|A)=1/3

 

Άρα η ολική πιθανότητα είναι P(A') + P(B|A) = 1/3 + 1/3 = 2/3.

 

Το λάθος εν τέλει, έτσι όπως το σκέφτομαι τώρα, είναι οτι προσθέτεις P(A) + P(BτομήA).

 

Θα το ξανακοιτάξω αύριο, πολύ πιθανό να πετάω μπούρδες αυτή τη στιγμή...

 

 

 

Τσκ.

 

Ο Φίλιπππος τα είπε σωστά στο προηγούμενο post.

 

Το πείραμα μπορεί να αντικατασταθεί ισόδυναμα με τη ρίψη δύο ζαριών, όπου τα ενδεχόμενα θα είναι

 

Α: Ακριβώς ένα από τα ζάρια φέρνει νούμερο μεγαλύτερο του 4

 

Β: Τουλάχιστον ένα από τα ζάρια φέρνει νούμερο μεγαλύτερο του 4

 

 

Είναι προφανές ότι στο Β ενδεχόμενο έχουμε μεγαλύτερη πιθανότητα, αφού περιλαμβάνονται τα σημεία (5,5), (5,6), (6,5), (6,6), τα οποία δεν μας ενδιαφέρουν στο Α ενδεχόμενο (και ούτε στη ρίψη ενός ζαριού δύο φορές).

 

Το πρόβλημα λύνεται εύκολα με απλή καταγραφή όλων των στοιχείων και με χρήση του κλασικού ορισμού της πιθανότητας.

[flik]

Ναι κι εγώ σήμερα που ξύπνησα έκανα αυτό το απλό. Καταγραφή δειγματοχώρου, και όντως είναι 5/9 και στις δύο περιπτώσεις...

Και φυσικά είναι το ίδιο και στις 2 περιπτώσεις.