Μαθηματικά Προβλήματα.

[hackermon1]

Αν γίνεται να λύσει κάποιος και το πρόβλημα που έμεινε θα ήμουν ευγνώμων.

[Pantelwolf]

 

7)Σε μια συνεχή σειρά φυσικών αριθμών ο τρίτος είναι άρτιος. Τι αριθμός είναι ο 527ος και τι ο 1538ος .Διατυπώστε ένα σύντομο συλλογισμό που να δικαιολογεί την απάντηση σας.

 

Μια συνεχης σειρα φυσικων σημαινει οτι για κάθε αριθμό κ €Ν ο επόμενος θα είναι ο κ+1

 

αρα εστω κ ο πρωτος αριθμός της σειράς , ο τρίτος θα είναι κ+2

 

κ+2 άρτιος σημαίνει οτι κ+2=2λ , κ,λ €Ν

 

=>

κ= 2λ-2 =>

κ = 2λ (1)

 

άρα και ο 1ος αριθμός είναι άρτιος

 

 

τώρα από έναν άρτιο αριθμό κ

 

αν προχωρήσεις αριθμό θέσεων μ, δηλαδή κ + μ

 

α)και το μ άρτιος άρα μ= 2ν (2) , δηλαδή η 3η,5η, 527η θέση ( σκέψου οτι η κ+1 είναι η 2η)

Τότε κ+μ (από 1,2)= 2λ + 2ν = 2 ξ => άρτιος

 

αντίστοιχα

 

β) το μ περιττός άρα μ= 2ν+1 (3) , δηλαδή η 2η,4η, 1538η θέση ( σκέψου οτι η κ+2 είναι η 3η)

Τότε κ+μ (από 1,3)= 2λ + 2ν+1 = 2 ξ +1 => περιττός

 

μ,ν,ξ € Ν

[johnieXoX]

Θα ήθελα την βοήθεια σας για την επίλυση των παρακάτω προβλημάτων . Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

 

4)Ένας εργολάβος ανέλαβε να κάνει ένα έργο σε 30 ημέρες. Γι αυτό μίσθωσε 2 εκσκαφείς που θα δούλευαν 9 ώρες την ημέρα.Ύστερα από 10 ημέρες κατάφερε να εκμισθώσει2 εκσκαφείς με τριπλάσια απόδοση που δούλευαν 6 ώρες την ημέρα. Πόσες ημέρες νωρίτερα τελείωσε το έργο ?

 

 

Οι 2 εκσκαφείς, δουλεύοντας 9 ώρες την ημέρα, τελειώνουν το έργο σε 30 ημέρες, δηλαδή σε 270 ώρες.

Τις πρώτες 10 μέρες, έχουν δουλέψει 90 ώρες, άρα έχουν πραγματοποιήσει: 90/270 = 1/3 του έργου (μέθοδος των τριών).

Μένει να δούμε σε πόσες μέρες θα τελειώσουν οι 2 πιο καλοί εκσκαφείς τα υπόλοιπα 2/3 του έργου.

Οι νέοι εκσκαφείς αφού έχουν τριπλάσια απόδοση, θα τελείωναν το έργο στο 1/3 (10 ημέρες ή αλλιώς 90 ώρες) αν δούλευαν 9 ώρες. Δουλεύοντας 6 ώρες χρειάζονται (9*90)/6 = 135 ώρες αφού τα μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Άρα, οι 2 νέοι εκσκαφείς χρειάζονται 135 ώρες ή αλλιώς 22,5 ημέρες για να τελειώσουν το σύνολο του έργου.

Άρα για τα 2/3 του έργου χρειάζονται (2/3)*22,5 = 15 ημέρες.

Προσθέτουμε και τις 10 αρχικές, και έχουμε σύνολο 25 ημέρες για να τελειώσει το έργο.

[Pantelwolf]

Οι 2 εκσκαφείς, δουλεύοντας 9 ώρες την ημέρα, τελειώνουν το έργο σε 30 ημέρες, δηλαδή σε 270 ώρες.

Τις πρώτες 10 μέρες, έχουν δουλέψει 90 ώρες, άρα έχουν πραγματοποιήσει: 90/270 = 1/3 του έργου (μέθοδος των τριών).

Μένει να δούμε σε πόσες μέρες θα τελειώσουν οι 2 πιο καλοί εκσκαφείς τα υπόλοιπα 2/3 του έργου.

Οι νέοι εκσκαφείς αφού έχουν τριπλάσια απόδοση, θα τελείωναν το έργο στο 1/3 (10 ημέρες ή αλλιώς 90 ώρες) αν δούλευαν 9 ώρες. Δουλεύοντας 6 ώρες χρειάζονται (9*90)/6 = 135 ώρες αφού τα μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Άρα, οι 2 νέοι εκσκαφείς χρειάζονται 135 ώρες ή αλλιώς 22,5 ημέρες για να τελειώσουν το σύνολο του έργου.

Άρα για τα 2/3 του έργου χρειάζονται (2/3)*22,5 = 15 ημέρες.

Προσθέτουμε και τις 10 αρχικές, και έχουμε σύνολο 25 ημέρες για να τελειώσει το έργο.

 

Κάπου σε χάνω,

 

Χρειάζονται 540 εργατοώρες σύνολο, 2 εκσκαφεις * 9 ώρες * 30 ημέρες , έστω οτι βγάζω τον έναν αφου ειναι ίδιος αριθμός και στη νέα εξίσωση, πες 270

 

πρώτες 10 μέρες * 9 ώρες = 90 ώρες άρα απομένουν 180. (270 - 90)

 

Έπειτα η απόδοση ανα μέρα είναι 3 * 6 , αφού δουλεύουν 6 ώρες και έχουν τριπλάσια απόδοση.άρα 18/μέρα

180/18 = 10

 

Άρα άλλες 10 μέρες.

 

Σύνολο 20

 

πές αν είμαι κάπου λάθος.

 

>Ημέρα-ΩΡΕΣ-Απόδοση-Σύνολο παραχθέντων

1	9	1	9
2	9	1	18
3	9	1	27
4	9	1	36
5	9	1	45
6	9	1	54
7	9	1	63
8	9	1	72
9	9	1	81
10	9	1	90
11	6	3	108
12	6	3	126
13	6	3	144
14	6	3	162
15	6	3	180
16	6	3	198
17	6	3	216
18	6	3	234
19	6	3	252
20	6	3	270

 

Edit:Το λάθος σου πρέπει να είναι στο οτι όταν υπολογίζεις το νέο έργο σε 135 μετά αυτό ΔΕΝ είναι τα 2/3 αλλά το 1/3 του έργου (135-90/135 = 1/3). Πρέπει να κάνεις αφαίρεση όχι να πάρεις το λόγο!

[johnieXoX]

Δεν είναι σαφές αν η τριπλάσια απόδοση είναι στο 9ωρο ή στο 6ωρο.

Εσύ δέχτηκες ότι σε 6 ώρες βγάζουν την 3πλάσια δουλειά.

Εγώ δέχτηκα ότι σε 9 ώρες βγάζουν την 3 πλάσια δουλειά, και άρα σε 6 ώρες βγάζουν την διπλάσια.

[Pantelwolf]

Όχι, αυτό που λες δεν έχει νόημα.

Δηλαδή αν εσύ δουλεύεις 4 φορές πιο σκληρά απο μένα στο 8ωρο και παράγεις 20, ενώ εγώ 5, αν μια μέρα δουλέψεις 4ωρο, αν μετρούσαμε αυτές τις 4 ώρες που δουλέψαμε μαζί εσύ θα είχες δουλέψει μόνο διπλάσια σκληρά? Εγώ θα είχα 2,5 κι εσύ 10, πάλι 4 φορές.

[johnieXoX]

Αν όμως πούμε ότι:

οι πρώτοι εκσκαφείς χρειάζονται 9 ώρες για να πιάσουν μια απόδοση 10 π.χ. να σκάψουν 10 κ.μ.

τότε οι δεύτεροι εκσκαφείς έχοντας 3πλάσια απόδοση, χρειάζονται 9 ώρες για να σκάψουν 30 κ.μ.

και άρα στις 6 ώρες σκάβουν 20 κ/μ.

 

Όχι, αυτό που λες δεν έχει νόημα.

Δηλαδή αν εσύ δουλεύεις 4 φορές πιο σκληρά απο μένα στο 8ωρο και παράγεις 20, ενώ εγώ 5, αν μια μέρα δουλέψεις 4ωρο, αν μετρούσαμε αυτές τις 4 ώρες που δουλέψαμε μαζί εσύ θα είχες δουλέψει μόνο διπλάσια σκληρά? Εγώ θα είχα 2,5 κι εσύ 10, πάλι 4 φορές.

 

σε αυτό το παράδειγμα που λες, δουλεύουμε και οι δύο το ίδιο, είτε αυτό είναι 8ωρο είτε είναι 4ωρο. Στο πρόβλημα όμως οι δεύτεροι εκσκαφείς δεν δουλεύουν το ίδιο, δουλεύουν 6ωρο αντί για 9ωρο.

[Pantelwolf]

Ναι, τωρα κατάλαβα τι εννοείς, δε διαφωνούμε εκεί, αυτό το κομμάτι είναι σωστό.

 

Το λάθος σου είναι οτι παίρνεις και συγκρίνεις το λόγο από τον πρώτο υπολογισμό του συνολικού έργου με τον δεύτερο υπολογισμό

Δηλαδή η παρακάτω γραμμή είναι λάθος

 

Άρα για τα 2/3 του έργου χρειάζονται (2/3)*22,5 = 15 ημέρες.

 

αυτό το 2/3 είναι του 270, όχι του 135, ενώ το 22,5 είναι υπολογισμένο με το 135.

[johnieXoX]

Μα 270 είναι το σύνολο του έργου λαμβάνοντας ότι το έργο χρειάζεται 30*9 = 270 ώρες, όσο δηλαδή χρειάζονται οι πρώτοι εκσκαφείς.

Ενώ με τους νέους εκσκαφείς το έργο χρειάζεται 22,5*6 = 135 ώρες, αφού οι νέοι εκσκαφείς αποδίδουν ουσιαστικά το διπλάσιο από τους πρώτους εκσκαφείς στο 6ωρο.

 

Το δικό σου λάθος, είναι ότι κρατάς σταθερό το 270 σαν συνολικό χρόνο του έργου, πράγμα που δεν ισχύει με την αλλαγή των εκσκαφέων.

Εγώ παίρνω τον λόγο 2/3 του έργου που είναι σταθερό ανεξαρτήτως της διάρκειας του έργου.

 

χμμ.. βασικά το ξανασκέφτηκα...

 

Θα συμφωνήσω τελικά στις 20 ημέρες, αλλά με τον ακόλουθο πιο απλό υπολογισμό.

 

2 εκσκαφείς, δουλεύοντας 9 ώρες την ημέρα τελειώνουν το έργο σε 30 ημέρες. Άρα, σε 10 μέρες έχουν κάνει το 1/3 του έργου.

 

οι επόμενοι εκσκαφείς, έχουν 3πλάσια απόδοση από τους πρώτους, όταν δουλεύουν 9 ώρες, όταν δουλεύουν 6 ώρες τότε αποδίδουν (6*3)/9 = 2, διπλάσια.

Οι πρώτοι εκσκαφείς με απόδοση 1 χρειάζονται 30 ημέρες, οι δεύτεροι εκσκαφείς με απόδοση 2 χρειάζονται (1*30)/2 = 15 μέρες για το σύνολο του έργου, αφού είναι αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη.

 

Αφού έχει ήδη υλοποιηθεί το 1/3 του έργου μένουν τα 2/3, για τα οποία και χρειάζονται άλλες (2/3)*15 = 10 ημέρες.

Σύνολο 20 ημέρες.

[Pantelwolf]

ΩΠΑ ΩΠΑ ΩΠΑ το βρήκα.

 

Δεν ήταν εκεί που πίστευα το λάθος.

 

Ήταν στο οτι οι νεοι εκσκαφείς θα το κάνουν σε 90 ώρες, τελεία. Ανεξαρτήτως πόσες ώρες τη μέρα δουλεύουν με την απόδοσή τους θα δούλευαν για 90 ώρες.

 

Άρα ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ να κάνεις το 9*90/6

 

Κάνεις κατευθείαν, 90* 2/3 για να υπολογίσεις τα 2/3 του έργου και το 60 που είναι οι συνολικές ώρες δια 6 την ημέρα και βγαίνουν 10 μέρες.

 

Αντε να πάρει είχα σκάσει.

[evabb]

Κάπου σε χάνω,

 

Χρειάζονται 540 εργατοώρες σύνολο, 2 εκσκαφεις * 9 ώρες * 30 ημέρες , έστω οτι βγάζω τον έναν αφου ειναι ίδιος αριθμός και στη νέα εξίσωση, πες 270

 

πρώτες 10 μέρες * 9 ώρες = 90 ώρες άρα απομένουν 180. (270 - 90)

 

Έπειτα η απόδοση ανα μέρα είναι 3 * 6 , αφού δουλεύουν 6 ώρες και έχουν τριπλάσια απόδοση.άρα 18/μέρα

180/18 = 10

 

Άρα άλλες 10 μέρες.

 

Σύνολο 20

 

πές αν είμαι κάπου λάθος.

 

 

 

κι εγω 20 μερες βρισκω με την ιδια λογικη αλλα λιγο διαφορετικο τροπο.

 

30*9*2=540 εργατοωρες

 

στις 10 πρωτες μερες εχουν γινει 10*9*2=180 εργατοωρες

 

μενουν 360 εργατοωρες αλλα αφου οι καινουργοι εκσκαφεις δουλευουν τριπλασια θα τελειωσουν την δουλεια σε 360/3=120 εργατοωρες

 

αρα y*6*2=120 οπου y οι μερες που θα δουλεψουν οι καινουργοι εκσκαφεις.

 

y=10 και 10 μερες που εχουμε απο τους προηγουμενους μας κανουν συνολο 20 μερες.

 

απλη,κομψη και κατανοητη λυση πιστευω...

[papajo_r]

4)

αν υποθέσουμε ότι κάθε μέρα ισοδυναμεί με μια μονάδα έργου και συνολικά χρειάζονται 30 μονάδες έργου για να τελειώσει η εργολαβία

 

 

και αν υποθέσουμε επίσης ότι αυτές τις 30 μονάδες έργου μπορούν να τις αποπερατώσουν οι πρώτοι εργάτες (που δουλεύουν 9 ώρες την ημερα) μέσα σε 30 μέρες δηλαδή κάθε 9 ώρες παράγουν μια μονάδα.

 

Τότε λέμε ότι το πρώτο ζεύγος εργατών (ζεύγος_A) σε 9 ώρες παράγει μια μονάδα (1/9 =~0,1111 μονάδες έργου ανά ώρα κάθε μέρα ) το δεύτερο ζεύγος (ζεύγος_B ) παράγει την τριπλάσια μονάδα έργου (1*3) στις ίδιες ώρες (9) δηλαδή (3/9 = ~0,3333 μοναδες έργου ανά ώρα κάθε μέρα) αλλα δουλεύει 6 ώρες

 

Για να παράγει λοιπόν το ζεύγος_B την ίδια μονάδα έργου με το ζεύγος_a θέλεις 3 ώρες

 

άρα σε 6 ώρες έχει κάνει διπλάσιες μονάδες έργου

 

άρα δουλεύοντας 10 μέρες το ζευγος_a με ρυθμό "1/9 μονάδες ανά ώρα κάθε μέρα" έχει παράξει 10 μονάδες έργου

 

Πράγμα που σημαίνει ότι το ζεύγος_B θέλει 10 μέρες για να παράξει τις υπολοιπες 20 μονάδες έργου με ρυθμό "3/9 = ~0.3333 μονάδες έργου ανά ώρα κάθε μέρα"

 

Άρα ο συνολικός χρόνος εργασιών ανέρχεται στις 20 μέρες άρα γλίτωσε 10 μέρες ο έξυπνος αυτός εργολάβος.

[evabb]

ο εργολαβος εξυπνος και οι αντρες κομματι βλακες που περιπλεκουν ενα γελιο προβληματακι προτεινοντας μπουρδουκλομενες λυσεις μεσω βορειου πολου.

[hackermon1]

Σας ευχαριστώ όλους για την βοήθεια. Πρόσθεσα άλλο ένα.

[Anubis13]

Τι διατυπωση ειναι αυτη στο καινουριο προβλημα?

βλακειες...