Ένα ενδιαφέρον λογικό πρόβλημα

[psou]

Γιά τις υποθέσεις του προβλήματος που τέθηκε...

Έστω το ενδεχόμενο Α να κερδίζει η πόρτα 1.Έστω το ενδεχόμενο Β να κερδίζει η πόρτα 2.Τότε ισχύει Ρ(Α)=Ρ(Β)(=1/2).<p>Απόδειξη(Απαγωγή σε άτοπο)

Έστω ότι ισχύουν οι 2 πρώτες υποθέσεις και ότι Ρ(Α)<>Ρ(Β).

Α τομή Β=Κενό σύνολο.

Α ένωση Β=Ω (πραγματοποιείται πάντα).

Ρ(Ω)=Ρ(ΑένωσηΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑτομήΒ)= Ρ(Α)+Ρ(Β) <=>

Ρ(Ω)= Ρ(Α)+Ρ(Β)<=>

(Ν(Α)+Ν(Β))/Ν(Ω)=1 <=>

Ν(Α)+Ν(Β)=Ν(Ω) <=>

Ν(Α)+Ν(Β)=2. (1)<p>Η σχέση (1) επαληθέυεται για τις τιμές:

-> Ν(Α)=0 και Ν(Β)=2 ʼτοπο γιατί Ν(Α)>0.

-> Ν(Α)=2 και Ν(Β)=0 ʼτοπο γιατί Ν(Β)>0.

->Ν(Α) και Ν(Β) μη ακέραιοι(π.χ. 3/2 , 1/2) ʼτοπο γιατί πρέπει Ν(Α) και Ν(Β) να ανήκει στο Ν(Φυσικοί).

-> Ν(Α)=Ν(Β)(=1) <=>

Ν(Α)/Ν(Ω)=Ν(Β)/Ν(Ω) <=>

Ρ(Α)=Ρ(Β) ʼτοπο από υπόθεση της απαγωγής σε άτοπο.#<p>ʼρα Ρ(Α)=Ρ(Β).<p>Συμπερασματικά, αν ακόμη πιστέυετε ότι Ρ(Α)<>Ρ(Β) τότε δεν έχω να πω και πολλά.Τα μαθηματικά σα μαθηματικά λένε ότι Ρ(Α)=Ρ(Β).-

Η απόδειξη είναι αυστηρή βασίζεται σε ορισμούς και δε τίθεται θέμα αμφισβήτησης της εγκυρότητάς της εκτός βέβαια αν ορίσετε καινούρια άλγεβρα, συνολοθεωρία και διαφορετικό ορισμό για την πιθανότητα.Αυτά από εμένα <p>YΓ Πέστα ρε gosta100!!!<p>[ 18-12-2001: Message edited by: psou ]<p>[ 18-12-2001: Message edited by: psou ]</p>

[Nitrous18]

egw me oles autes tis apantiseis psiloxontro mperdeutika kai leo as stamatiso na diavazo giati tha ksexaso kai auta pou ksero!

[gus]

File psou ta pragmata einai arketa pio periploka apo tis aples pithanotites pou paratheteis kai krima giati ekanes megalo kopo kathos mporei na mpainei mesa kai theoria megalon arithmon (den xero an isxyei stis 3 portes) kai alla tetoia pou den gnorizo kala gia na apantiso tekmiriomena.Pantos mi viazesai na vgaleis symperasmata.Einai arketa dyskolo provlima.

[Γηρυόνης]

Βρε παιδιά στην πραγματικότητα η λύση είναι πιο απλή από ότι φαίνεται. Πείτε ότι υπάρχουνε 20 πόρτες και ο παίχτης διαλέγει τη μία από αυτές. Η πιθανότητα να είναι το δώρο πίσω από αυτή που διάλεξε είναι 1/20. Η πιθανότητα να είναι το δώρο πίσω από τη μία από τις υπόλοιπες είναι 19/20. Σωστά μέχρι εδώ; Αν συμφωνείτε όλοι τότε προχωράμε. Αν λοιπόν από αυτές τις 19 πόρτες που μείνανε ανοίξουνε οι 18 και το δώρο δεν είναι μέσα τότε που είναι πιο πιθανόν να είναι; Πίσω από την αρχική πόρτα που διάλεξε ο παίχτης ή πίσω από αυτή που έμεινε κλειστή από τις 19;<p> Το παραπάνω μπορεί να είναι μία πιθανή λύση. Τώρα αν σκεφτούμε ότι ο παρουσιαστής ξέρει ότι ο παίχτης θα σκεφτεί όπως παραππανω οπότε πάει να του παίξει κόλπο (δηλαδή ξέρει ότι το δώρο είναι πίσω από την πόρτα του παίχτη οπότε του ανοίγει όλες τις άλλες εκτός από μία για να χάσει) τότε μπορεί να αλλάξουνε τα δεδομένα. Αλλά πιστεύω ότι από μαθηματική άποψη (χωρίς να είμαι μαθηματικός βέβαια) στέκει η αρχική εξήγηση του έποτε.<p>[ 19-12-2001: Message edited by: Γηριόνης ]</p>

[epote]

λοιπόν οκ ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.<p>Όταν έλεγα ότι το βρήκα ναι εννοούσα ότι βρήκα την λύση και μετά επιβεβαιώθηκα από αυτά που βρήκα στο ιντερνετ γιατί δεν ήμουν σίγουρος αν το είχα βρει σωστά. Έχω την τάση να κατοχυρώνω τις θέσεις μου με επιχειρήματα<p>Υπαινίσσεστε δηλαδή ότι οι άνθρωποι στο site έχουν λάθος? αν ναι δεν ξερό τι να πω εσείς προφανώς ξέρετε καλύτερα από όλους τους άλλους.<p>Αχ μεγάλε psou κατ αρχάς μπορούμε να μιλήσουμε λογικά και με ηρεμία? Για αρχή τι έτος είσαι ?ξερό αρκετά μαθηματικά ώστε να κατανοώ τις παιδικές αποδείξεις σου και να μην με εντυπωσιάζουν. Αρχικά έτσι για να δούμε ποιος ξέρει τι θα ήθελα να μου πεις ποιο είναι τα θεμελιώδη αξιώματα της συνολοθεωριας και πως από αυτήν προκύπτουν οι ορισμοί όλων τον αριθμητικών συνόλων (της άλγεβρας ουσιαστικά που ισχυρίζεσαι ότι γνωρίζεις. Δέχομαι οποιοδήποτε αντιστοίχου είδους τεστ από εσένα ώστε να μάθουμε όλοι κατά πόσο καλά είμαστε εδραιωμένοι γνωσιακα. (ναι το ξέρω από τώρα ότι θα Πάρο απάντηση του στυλ : δεν έχω να αποδείξω τίποτα / χάσω το χρόνο μου κτλ και εκ τον προτέρων τα θεωρώ σημάδια άγνοιας)<p>Τρίτον πρέπει να ξέρεις ότι οι πιθανότητες μαζί με την αλγεβρική τοπολογία (κυρίως τους μετασχηματισμούς flop ) και την συναρτησιακή ανάλυση («ταραγμένων(?)» πεδίων ,δεν ξέρω ακριβώς τη μετάφραση παντός είναι : perturbation fields factional analysis) είναι από τους πλέον πολυσύνθετους και θεωρητικούς κλάδους τον μαθηματικών (ο αυστηρός ορισμός της πιθανότητας έχει περισσότερο να κάνει με το ολοκλήρωμα Lebesgue).<p>Η απόδειξη σου είναι ΟΛΟΣΩΣΤΗ (αν και λίγο μακρόσυρτη για κάτι τόσο τετριμμένο θα μπορούσες να πας κατευθείαν από το ορισμό της πιθανότητας όπου φυσικά βγαίνει ότι πιθανότητα είναι ενδεχόμενο (1) προς δειγματικο χώρο(2) άρα 1/2 η 50%. Αυτό βγαίνει από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας (δηλαδή βάση της σχετικής συχνότητας f(a)). Όμως το θέμα είναι ότι εδώ ΔΕΝ έχουμε να κάνουμε με ισοπιθανα ενδεχόμενα και αυτό γιατί πρέπει να πάρουμε υποψιν το γεγονός ότι μειώνεται ο δειγματικος χώρος ΚΑΙ μας δίνεται η δυνατότητα να αλλάξουμε επιλογή <p>Αν εξακολουθείτε να μην με πιστεύετε δείτε και αυτή την εξαιρετικά απλή εξήγηση από ένα έγκυρο site φτιαγμένο από μαθηματικούς http://pass.maths.org.uk/issue5/puzzle/solution.html

Η ακόμα και αυτό:

http://www.io.com/~kmellis/mh-math-faq.html

και πριν αρχίσετε να λέτε ότι δεν είναι αμιγώς μαθηματικές οι λύσεις και ότι μπαίνει και ψυχολογία μέσα και τα λοιπά σας συνιστώ να διαβάσετε καλύτερα τις λύσεις (δεν μπλέκει πουθενά η κρίση του παρουσιαστή)<p>οχ ρε παιδία τσαμπουκάδες βγάζουμε από το πουθενά και μετά παραπονιόμαστε γιατί θέλει ο hal να κλείσει το bla-bla αλλά εδώ μιλάμε για εξόφθαλμα πράγματα δεχτέ λίγο έλεος το να κανείς λάθος που και που δεν είναι τόσο τρομερό (εγώ βέβαια δεν έχω αυτό το πρόβλημα γιατί πάντα έχω δίκιο) .

[epote]

(γονατιστός ευχαριστώ τον γηριονη και τον gus κλαίγοντας με λυγμούς για την υποστήριξη)

[TonyMontana]

paidia to thema einai ksekatharo ...kai i lusi den vasizetai se pithanotites alla stin KOLOFARDIA tou paixti => giati ama einai na sou katsei sou katse <= den pa na nai kai 1 sta 14000000 (lotto style) xexexxeexexe

[psou]

Φοιτητής του μαθηματικού της Αθήνας είμαι.Εγώ τεκμηρίωσα την άποψή μου με την παραπάνω απόδειξη.Αν μπορέσεις και εσύ να αποδείξεις οτι και η δικιά σου άποψη είναι σωστή ευχαρίστως να το συζητήσουμε ξανά.Ξέρεις κάποιος μαθηματικός είχε πει:"Οι πιό σωστές και αποδεκτές λύσεις σε ένα πρόβλημα είναι οι πιό απλές."Πάντως μην εντυπωσιάζεις τους άλλους με μαθηματικούς όρους που δεν έχουν σχέση με το πρόβλημά μας και που μάλλον δεν θα μάθουν ποτέ έτσι για να αυξήσεις το "κύρος" σου.Και σε παρακαλώ μην αμφισβητείς κάποιον που ούτε καν τον ξέρεις...

[Γηρυόνης]

Πείτε ότι έστω παίζουνε δύο παίχτες και υπάρχουνε τρεις πόρτες. Ο ένας διαλέγει τη μία (οπότε έχει 33,33% πιθανότητες να βρει το δώρο) ενώ του άλλου του μένουνε οι υπόλοιπες δύο. Οπότε ο δεύτερος έχει 66,66% πιθανότητες να έχει το δώρο μία από τις πόρτες που του έμειναν.<p> ʼρα αν ο παρουσιαστής ανοίξει μία πόρτα του δεύτερου παίχτη και δεν έχει μέσα το δώρο, είναι πιο πιθανό να είναι στη δεύτερη, διότη οι αρχικές του πιθανότητες ήτανε πιο υψηλές από του πρώτου παίχτη.<p> Δεν ξέρω πως μπορεί να παρουσιαστεί αυτό μαθηματικώς, πάντως αν κάποιος είναι μαθηματικός (έχει τελειώσει και όχι απλώς σπουδάζει) ας ρίξει λίγο φως, γιατί το παραπάνω βασίζεται σε λογική. Η μαθηματική λύση μπορεί να είναι τελείως διαφορετική.<p>[ 19-12-2001: Message edited by: Γηριόνης ]</p>

[Επισκέπτης]

<blockquote><font size="1" face="Verdana, Helvetica, sans-serif">quote:</font><hr>Originally posted by Γηριόνης:

<strong>Πείτε ότι έστω παίζουνε δύο παίχτες και υπάρχουνε τρεις πόρτες. Ο ένας διαλέγει τη μία (οπότε έχει 33,33% πιθανότητες να βρει το δώρο) ενώ του άλλου του μένουνε οι υπόλοιπες δύο. Οπότε ο δεύτερος έχει 66,66% πιθανότητες να έχει το δώρο μία από τις πόρτες που του έμειναν.<p> ʼρα αν ο παρουσιαστής ανοίξει μία πόρτα του δεύτερου παίχτη και δεν έχει μέσα το δώρο, είναι πιο πιθανό να είναι στη δεύτερη, διότη οι αρχικές του πιθανότητες ήτανε πιο υψηλές από του πρώτου παίχτη.<p> Δεν ξέρω αν μπορεί να παρουσιαστεί αυτό μαθηματικώς, πάντως αν κάποιος είναι μαθηματικός (έχει τελειώσει και όχι απλώς σπουδάζει) ας ρίξει λίγο φως, γιατί το παραπάνω βασίζεται σε λογική. Η μαθηματική λύση μπορεί να είναι τελείως διαφορετική.<p>[ 19-12-2001: Message edited by: Γηριόνης ]</strong><hr></blockquote><p>Νομίζω ότι έχεις λάθος.

Όταν ο 1ος παίχτης διαλέγει μία πόρτα απο της τρεις, έχει 33% να πετύχει το δώρο.

Όταν ο 2ος παίχτης διαλέγει μία πόρτα από τις 2 που έχουν μείνει, έχει πάλι το 33% να πετύχει το δώρο, γιατί μπορεί το δώρο να είναι στην μία που διάλεξε ο 1ος!!!!

[Γηρυόνης]

Χμμ.. Μπορεί δεν ξέρω. Αλλά από την άλλη οι αρχικές του πιθανότητες είναι διπλάσιες, οπότε είναι λογικό το δώρο να είναι πίσω από τη μία από τις δύο πόρτες.

[timour]

<blockquote><font size="1" face="Verdana, Helvetica, sans-serif">quote:</font><hr>Originally posted by Γηριόνης:

<strong>Χμμ.. Μπορεί δεν ξέρω. Αλλά από την άλλη οι αρχικές του πιθανότητες είναι διπλάσιες, οπότε είναι λογικό το δώρο να είναι πίσω από τη μία από τις δύο πόρτες.</strong><hr></blockquote><p>Είναι "πιθανό" και όχι "λογικό" φίλε Γηριόνη το δώρο να είναι πίσω απο τη μία απο τις δύο πόρτες. Η λογική δεν έχει θέση εδώ.

Να δούμε όμως το πρόβλημα λίγο διαφορετικά. Έστω οτι υπάρχουν 1000 κουτάκια εκ των οποίων το 1 απο αυτά περιέχει μέσα κάτι (πχ ένα διαμάντι). Μοιράζουμε αυτά τα κουτάκια σε 1000 διαφορετικά άτομα. Έτσι για κάθε άτομο που έχει το κουτάκι η πιθανότητα να του έχει "κάτσει" το διαμάντι είναι 1/1000.

Περίπτωση πρώτη: ανοίγουν οι 500 (οι μισοί δηλαδή) το κουτάκι τους και (μετα λύπης) διαπιστώνουν ότι δεν έχουν το "μαγικό κουτάκι". ʼρα οι υπόλοιποι 500 έχουν πλέον θεωρητικά 1/500 πιθανότητα να έχουν το διαμάντι. Ουσιαστικά όμως οι πιθανότητές τους παραμένουν 1/1000 γιατί 1000 τα κουτάκια 1000 και οι άνθρωποι ,μόνο 1 όμως διαμάντι. Έστω οτι 998 άνθρωποι ανοίγουν το κουτάκι και δεν βρίσκουν το διαμάντι. Αυτό σημαίνει το διαμάντι βρίσκεται σε έναν εκ των δύο που απομείνανε. Οι πιθανότητες πλέον είναι 1/2 για τον κάθε ένα . Οι ίδιες πιθανότητες παραμένουν ακόμα και αν αυτοί οι δύο εναπομείναντες ανταλλάξουν τα κουτάκια τους (αυτό για να το συνδιάσετε με την αλλαγή της επιλογής της πόρτας) οι πιθανότητες πάντα παραμένουν 1/2 . Φυσικά μόνο ένας απο τους δύο είναι το τυχερός. Και φυσικά οι πιθανότητες να του τύχαινε το "τυχερό" κουτάκι ήταν 1/1000 .........

[Γηρυόνης]

Δίκαιο έχεις.. Ήθελα να πω <<είναι λογικό να είναι πιο πιθανό το δώρο πίσω από τη μία από τις δύο πόρτες>>.<p> Μην παίρνεις ως δεδομένο τους χίλιους παίχτες αλλά μόνο δύο. Τώρα αν ο Α παίχτης διαλέξει ένα κουτί τότε έχει 1/1000 πιθανότητες ενώ ο Β έχει 999/1000. Οπότε πολύ πιο πιθανόν είναι ο δεύτερος παίχτης να βρει το διαμάντι. Τώρα αν ο Β παίχτης ανοίξει 998 κουτάκια και δεν είναι μέσα, τότε σύμφωνα με τις αρχικές πιθανότητες (999/1000) είναι πιο πιθανό το διαμάντι να είναι μέσα σε αυτό που έχει μείνει κλειστό.

[Επισκέπτης]

Ρε παιδιά, έχετε μπλέξει την βούρτσα με την ....βούρτσα<p>Το αρχικό ποσό των επιλογών δεν αλλάζει.

Όταν διαλέγεις 1/10, έχεις 10% να βρεις το σωστό.

Όταν από τα 10 ανοίξουν τα 8, έχεις 50% (1/2) ή 10%(1/10)...Απλά πράγματα, παίζει σημασία το ολικό ποσό των επιλογών...

Τέλος, υπάρχει και η πιθανότητα του αγνώστου ή του αναπάντεχου. Δεν υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει δώρο; Τι; Όχι; Και αν είναι 1η Απριλίου; <p>[ 19-12-2001: Message edited by: timiman ]</p>

[timour]

Αυτό λέει η λογική και όχι οι πιθανότητες φίλε Γηριόνη (δεν γίνομαι απόλυτος μπορεί να κάνω και λάθος) Οι πιθανότητες λένε (πάντα κατα τη γνώμη μου) οτι απο τι στιγμή που ο κάθε παίκτης - στο παράδειγμα που μόλις έδωσες- απο τη στιγμή που ο β' πάίκτης άνοιξε τα 998 και δέν ήτανε, τότε τα δύο κουτάκια που έχουνε μείνει (ένα για κάθε παίκτη) έχουνε ακριβώς τις ίδιες πιθανότητες να είναι τα τυχερά. Δεν συμφωνείς?

Βέβαια όπως και η δικιά σου λογική έτσι και η δικιά μου λέει οτι ποιο λογικό είναι να "κάτσει" τελικά στον β' παίκτη το διαμάντι γιατί αλλιώς μιλάμε για μεγάλη γκαντεμιά. Και πάλι όμως οι λέξεις γκαντεμιά (ατυχία) και κωλοφαρδία (τύχη) είναι κάτι που δεν ορίζεται στους νόμους των πιθανοτήτων....