Dr.Fuzzy Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Ξεφεύγουμε βέβαια αλλά επειδή απάντησε κάποιος θεωρώντας απλοϊκά ότι το πρόβλημα είναι εύκολο δίνω ένα σκιαγράφημα της λύσης για τα τμήματα.Έστω τα δυο τμήματα L0(s)=B0+s*M0 L1(t)=B1+t*M1 όπου B0,M0, B1,M1 τα άκρα τους και τα s,t ανήκουν στο [0,1]. Βρίσκεις την απόστασή τους στο τετράγωνο : Q(s,t)=|L0(s)-L1(t)|**2. Είναι ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ως προς s,t. Αν τα τμήματα δεν είναι παράλληλα τo γράφημά του Q(s,t) είναι ένα παραβολοειδές και αν είναι παράλληλα είναι ένας παραβολοειδής κύλινδρος. Το Q(s,t) πρέπει να ελαχιστοποιηθεί για s,t που ανήκουν στο [0,1]χ[0,1]. Το Q(s,t) είναι συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση και συνεπώς έχει ελάχιστο είτε σε εσωτερικό σημείο του [0,1]χ[0,1] όπου το gradQ μηδενίζεται, είτε στο σύνορο του [0,1]χ[0,1]. --Έστω ότι τα τμήματα δεν είναι παράλληλα. Λύνεται η gradQ(s,t)=0 ως προς s,t. Aν τα s,t είναι στο [0,1]χ[0,1] , είναι η λύση. Αν όχι, το σημείο βρίσκεται πάνω στο σύνορο του [0,1]χ[0,1] οπότε υπάρχουν 8 διαφορετικές περιπτώσεις.... --Έστω ότι τα τμήματα είναι παράλληλα. Η έκφραση για το Q(s,t) παίρνει απλούστερη μορφή και το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το δεδομένο ότι τα δυο τμήματα είναι τώρα σε παράλληλες ευθείες... Στην περίπτωση αυτή πρέπει να διερευνηθεί και αν τα τμήματα επικαλύπτονται. Κάπως έτσι δουλεύει o Εberly και δίνει μια πλήρη, κομψή και αυστηρή μαθηματικά λύση. Επιπλέον, συχνά δίνει και τον ψευδοκώδικα. Μαθητής λυκείου δεν ξέρει τι είναι το grad, ούτε είναι εξοικοιωμένος με την γεωμετρία στον χώρο, άρα θα δυσκολευτεί να παρακολουθήσει το κείμενο. Μαθητής 3ης λυκείου που έχει διδαχθεί διανύσματα και παραγώγους (και έχει κλίση στα μαθηματικά) μπορεί να το παρακολουθήσει (άντε να χρειαστεί να ψάξει και λίγο και να ρωτήσει). Δεν είναι κάτι το τρομερό και δεν είναι σίγουρα βαριά χρήση μαθηματικών. Το παράδειγμα σου είναι η γενική λύση σε n-space.
gtroza Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 πώς πάω από δωμάτιο σε wc ? A. αν δωμάτιο Αράχωβα, και wc Μανχάταν τότε χρειάζομαι gps B. αν δωμάτιο Αράχωβα, και wc Αράχωβα τότε με ανοιχτά μάτια Γ. αν δωμάτιο σπίτι μου, και wc σπίτι μου τότε με κλειστά μάτια στις προτεινόμενες λύσεις, δεν έχει μπεί η παράμετρος του χρόνου καλή όρεξη . ---------- Προσθήκη στις 14:35 ---------- Προηγούμενο μήνυμα στις 14:19 ---------- απο το κέντρο του κάθε κύκλου, περνάμε ένα επίπεδο παράλληλο με τον άλλο κύκλο εχουμε 2 διαμέτρους, απο τις τομές βρίσκουμε τις παράλληλες εφαπτόμενες για κάθε κύκλο έχουμε 4 σημεία το ζεύγος που δίνει τη μικρότερη απόσταση, πιστεύω ότι είναι το ζητούμενο . ---------- Προσθήκη στις 15:14 ---------- Προηγούμενο μήνυμα στις 14:35 ---------- αν τα επίπεδα των κύκλων τέμνονται τότε μία απο τις 2 ευθείες που περνάνε απο το κέντρο και από τα άκρα της τομής προς την περιφέρεια του άλλου κύκλου απλοϊκό μεν παραστατικό δε για να κατανούμε και οι "τριτοκοσμικοί", αν ισχύει ή όχι .
V.I.Smirnov Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Είμαστε εκτός θέματος αλλά σε κάποιους αρέσει η γεωμετρία φαίνεται. Η σωστή, πλήρης λύση στο πρόβλημα "ελάχιστη απόσταση δύο κύκλων στο χώρο" είναι αρκετά πολύπλοκη. Συνοπτικά : Οι δύο κύκλοι γράφονται σε διανυσματική παραμετρική μορφή με παράμετρο τις γωνίες θ,φ. Βρίσκεις την απόσταση F(θ,φ) στο τετράγωνο δύο (τυχαίων) σημείων τους. Αυτή είναι μια διπλά περιοδική συνάρτηση των θ,φ που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί. Επειδή είναι συνεχώς διαφορίσιμη θα εμφανίζει ολικό ελάχιστο στο σημείο μηδενισμού της κλίσης της δηλ. πρέπει να λυθεί η εξίσωση gradF(θ,φ)=(0,0) . Mετά από πράξεις καταλήγεις σε ένα πολυώνυμο 8ου βαθμού στου οποίου τις λύσεις περιλαμβάνεται και το ζητούμενο ελάχιστο. Η επιλογή αυτού του ελάχιστου από τις υπόλοιπες λύσεις γίνεται εξετάζοντας ποιες από αυτές ικανοποιούν ενδιάμεσες εξισώσεις που κατέληξαν στην τελική μορφή για την gradF(θ,φ)=(0,0). (Η περίπτωση όπου οι δυο κύκλοι είναι σε παράλληλα επίπεδα είναι εκφυλλισμένη διότι προκύπτει ο μηδενισμός μιας ορίζουσας στην αντιστροφή ενός πίνακα). Το σκεπτικό είναι κι΄ εδώ απλό και τυποποιημένο : φτιάχνεις μια συνάρτηση που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί - εδώ είναι η απόσταση δυο σημείων - και αναζητάς το ελάχιστο. Στο λύκειο στις εφαρμογές των παραγώγων περιλαμβάνονται τέτοια προβλήματα, εγώ πχ. είχα διαβάσει "σε κύκλο να εγγραφεί ορθογώνιο με μέγιστο εμβαδόν", "σε σφαίρα να εγγραφεί ορθός κύλινδρος μέγιστου όγκου" κ.α. Η δυσκολία στο πρόβλημα με τους κύκλους είναι ότι η επίλυση της εξίσωσης για την εύρεση του ελάχιστου είναι δύσκολη. Το ηθικό δίδαγμα είναι ότι και τα φαινομενικά απλά προβλήματα δεν είναι απλά πάντοτε και η γνώση μαθηματικών είναι σχεδόν πάντα απαραίτητη. Και ας μην θεωρηθεί ότι κάνω τον έξυπνο - κι εγώ όταν μου χρειάστηκαν δεν τα έλυσα μόνος μου. Αλλά ήξερα που να ψάξω και σε τι στάθμη πρέπει να τα μελετήσω. Και αυτό είναι που δεν ξέρουν οι περισσότεροι δυστυχώς.
gtroza Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Στο λύκειο στις εφαρμογές των παραγώγων περιλαμβάνονται τέτοια προβλήματα, εγώ πχ. είχα διαβάσει "σε κύκλο να εγγραφεί ορθογώνιο με μέγιστο εμβαδόν", "σε σφαίρα να εγγραφεί ορθός κύλινδρος μέγιστου όγκου" κ.α. μάλλον επιλέχθηκαν αυτά τα απλοϊκά προβλήματα με την προφανή λύση για να καταλάβουν οι μαθητές τις παραγώγους πολύ απλά θέλω να πώ ότι για "απλό κρυολόγημα" δεν χρειάζεται "ειδικός πανδημικός" εμβολιασμός το θέμα είναι ποιός προσδιορίζει - διατυπώνει το πρόβλημα και πώς είναι διαθετημένος να το λύσει πχ Σολομών, Μ. Αλέξανδρος, Κολόμβος με τις γνωστές λύσεις δεν διαγράφω την αναγκαιότητα των προχωρημένων μαθηματικών και των ειδικών λύσεων απλά λέω ότι δεν χρειάζονται ακόμα και για "κατούρημα" καλό απόγεμα ελπίζω να μη χρειαστεί να αποδείξω τις ακήσεις Λυκείου που παρέθεσες ! .
V.I.Smirnov Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 μάλλον επιλέχθηκαν αυτά τα απλοϊκά προβλήματα με την προφανή λύσηγια να καταλάβουν οι μαθητές τις παραγώγους πολύ απλά θέλω να πώ ότι για "απλό κρυολόγημα" δεν χρειάζεται "ειδικός πανδημικός" εμβολιασμός το θέμα είναι ποιός προσδιορίζει - διατυπώνει το πρόβλημα και πώς είναι διαθετημένος να το λύσει δεν διαγράφω την αναγκαιότητα των προχωρημένων μαθηματικών και των ειδικών λύσεων απλά λέω ότι δεν χρειάζονται ακόμα και για "κατούρημα" ελπίζω να μη χρειαστεί να αποδείξω τις ακήσεις Λυκείου που παρέθεσες ! . Στα προβλήματα αυτά η λύση δεν είναι και τόσο προφανής για μαθητή λυκείου αλλά είναι στο έπίπεδό του διότι οι πράξεις είναι σχετικά εύκολες. Στα άλλα που ανέφερα (τμήματα και κύκλοι) οι πράξεις είναι πολύ πιο δύσκολες. Όσο για το σχόλιο "δεν χρειάζονται ακόμα και για "κ.." " γενικά συμφωνώ και είπα ότι αυτό ακριβώς είναι που κάνει ο Ebelry καθιστώντας το κείμενό του εξαιρετικά ακριβές αλλά δυσπρόσιτο. Το καλό που έχει είναι ότι συνδυάζει τη αυστηρή θεωρία με την πράξη και υλοποιεί σχεδόν ότι γράφει σε αντίθεση με άλλα βιβλία που είτε δίνουν αμέτρητες αμπελλοφιλοσοφίες χωρίς ουσιώδες πρακτικό αντίκρυσμα, είτε πραγματεύονται τα προβλήματα σε απλοϊκό επίπεδο που πρακτικά κάνει ελάχιστα πράγματα. Πχ. έχω αρκετά βιβλία για γραφικά και το πρόβλημα της απόστασης των κύκλων και των τμημάτων δεν το έχει κανένα ! Όλα λένε την εξίσωση της ευθείας και του κύκλου αλλά μέχρι εκεί. Αυτά τα ξέρω, παρακάτω τι γίνεται. Όσο για το αρχικό πρόβλημα, δεν είναι διατυπωμένο με επαρκή σαφήνεια. Πχ. αν η μύτη του τριγώνου είναι εντός του ορθογωνίου και το υπόλοιπο τμήμα του εκτός, θα εξακολουθήσουμε να λαμβάνουμε το τμήμα με τη μύτη ή θα πάρουμε αυτό που βρίσκεται έξω ; Αν το τρίγωνο βρίσκεται εξολοκλήρου εντός του ορθογωνίου θα απορριφθεί ολόκληρο ; Πόσο μεγάλα είναι τα σχήματα ( ώστε να είναι ανεκτές ή όχι προσσεγγίσεις τους από άλλα απλούστερα για την εύρεση των τομών ). Κλπ. Εμείς εδώ μόνον γενικά μπορούμε να μιλάμε. Και εκείνο που έχω να πω εγώ είναι ότι η τομή δυο κυρτών πολυγώνων στο ίδιο επίπεδο βρίσκεται με αλγόριθμο που μάλιστα είναι γραμμικός ως προς τις κορυφές. Αλλά ο φίλος δεν θέλει ακριβώς αυτό. Ισως η constructive solid geometry δίνει τη λύση αλλά αυτό το θέμα δεν το κατέχω.
gtroza Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 Δημοσ. 18 Μαρτίου 2010 εντάξει V.I.Smirnov έγινες κατανοητός καλό βράδυ σε όλους και δύναμη στον Alchemist .
Προτεινόμενες αναρτήσεις
Αρχειοθετημένο
Αυτό το θέμα έχει αρχειοθετηθεί και είναι κλειστό για περαιτέρω απαντήσεις.