Ερώτηση Μαθηματικής φύσεως

[Tracer27]

Καλησπέρα σε όλους,

 

είμαι 3η λυκείου και έχω βάλει κάτω μια άσκηση αλλά σε ένα σημείο χρειάζομαι την βοήθειά σας....

Λοιπόν λέει: Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η f(x)=χ στην χ επι (1-χ) στην 1-χ.....Επειδή δεν μπορώ να την γράψω καλύτερα ειναι της μορφής α στην α επι β στην β,με χ ανήκει στο (0,1)...

Θα εκτιμούσα οποιαδήποτε βοήθεια..Ευχαριστώ

[SweeT_DreamS]

Ελπίζω να μη σε πάρω στο λαιμό μου, γιατί δεν τα θυμάμαι καλά...

 

Νομίζω πως για τη μονοτονία μπορείς να πάρεις την παράγωγο της f(x), η οποία βγαίνει θετική, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1).

 

Τώρα για τα ακρότατα, επειδή δεν ορίζεται η f στο 0 και το 1, νομίζω πως παίρνεις τα όρια στο 0 και το 1. Ή όχι; Δεν ξέρω. Δεν θυμάμαι.

 

Ντρέπομαι.

[andreapaog328]

με αυτές αν θυμάμαι καλα τις γράφεις στην μορφή...πχ. χ^χ = e^(xlnx) και (χ-1)^(χ-1) = e^((x-1)ln(x-1)) πραξούλες και ίσως κάνεις κάτι...

[Tracer27]

Ναι το πρόβλημα μου ειναι πως αν κάνεις την παραγώγιση η παραγωγος αποτελείται απο 2 όρους....ο ένας είναι e στην κάτι που είναι πάντα θετικό και το άλλο είναι lnx-ln(1-x)...Για το πρόσημο αυτού δεν είμαι σίγουρος...μηδενίζεται στο χ=1/2 και δεξιά απο το 1/2 ειναι θετικό και αριστερά(μεχρι το 0) αρνητικό??

[Höfdingadrapa]

Λυσσάρια δεν σας δίνουν πια;

[Tracer27]

Βασικά είναι μια άσκηση που την πέτυχα κάπου και με προβλημάτισε...Δεν ειναι απο το σχολικό

[SweeT_DreamS]

Ναι το πρόβλημα μου ειναι πως αν κάνεις την παραγώγιση η παραγωγος αποτελείται απο 2 όρους....ο ένας είναι e στην κάτι που είναι πάντα θετικό και το άλλο είναι lnx-ln(1-x)...Για το πρόσημο αυτού δεν είμαι σίγουρος...μηδενίζεται στο χ=1/2 και δεξιά απο το 1/2 ειναι θετικό και αριστερά(μεχρι το 0) αρνητικό??

Μισό λεπτό. Μετά την παραγώγιση δεν βγάζεις αυτό;

xln(1-x)^1-x + x^x (1-x)ln(1-x)

Ε, αυτό είναι θετικό...

[Malthador]

Αν κατάλαβα καλά, η άσκηση είναι:

 

f(x) = (x^x)[(1-x)^(1-x)] , x ανήκει (0,1)

 

Για να εξετάσω τη μονοτονία και τα ακρότατα θα χρειαστώ την f'(χ). Υπολογίζω τις επιμέρους παραγώγους πρώτα, χάριν ευκολίας:

 

 

(x^x)' = (x^x)(ln|x| + 1) = (x^x)(lnx + 1) , αφού x>0

 

[(1-x)^(1-x)]' = [(1-x)^(1-x)](ln|1-x| + 1)(1-x)' = -[(1-x)^(1-x)](ln(1-x) + 1) , αφού χ(0,1) -> 1-χ >0

 

 

Η f'(x) θα είναι:

 

f'(x) = (x^x)'[(1-x)^(1-x)] + (x^x)[(1-x)^(1-x)]' = (x^x)(lnx + 1)[(1-x)^(1-x)] - (x^x)[(1-x)^(1-x)](ln(1-x) + 1)

 

Βγάζω κοινό παράγοντα το (x^x)[(1-x)^(1-x)] και έχω:

 

f'(x) = (x^x)[(1-x)^(1-x)] (lnx + 1 - ln(1-x) - 1) = (x^x)[(1-x)^(1-x)] (lnx - ln(1-x))

 

Κι από ιδιότητες λογάριθμων:

 

f'(x) = (x^x)[(1-x)^(1-x)]{ln[x/(1-x)]}

 

Όμως, επειδή x ανήκει (0,1) τότε το x είναι διάφορο του μηδενός και της μονάδας, συνεπώς κανένας από τους τρεις όρους της f'(x) δεν μηδενίζεται ποτέ, άρα η f(x) δεν παρουσιάζει ακρότατα κι επειδή για κάθε x στο (0,1) η f'(x) είναι μεγαλύτερη του μηδενός, τότε η f(x) είναι γνήσια αύξουσα.

[Tracer27]

Μετα την παραγώγιση βγάζω e^xlnx+(1-x)ln(1-x) [lnx+ln(1-x)]

 

---------- Προσθήκη στις 21:28 ---------- Προηγούμενο μήνυμα στις 21:21 ----------

 

Malthador βγάζουμε το ίδιο....Για χ=1/2 που ανήκει στο (0,1) έχουμε στην παρένθεση με τα ln ln1=0 και την μηδενίζει την παράγωγο...Αρα ψάχνω το πρόσημο της ln{x/1-x}??

[Malthador]

 

Malthador βγάζουμε το ίδιο....Για χ=1/2 που ανήκει στο (0,1) έχουμε στην παρένθεση με τα ln ln1=0 και την μηδενίζει την παράγωγο...Αρα ψάχνω το πρόσημο της ln{x/1-x}??

 

 

Έχεις, δίκιο, βλακεία μου, που δεν το είδα.

 

Οι δύο πρώτοι όροι δεν μηδενίζονται πουθενά στο (0,1) και είναι πάντα θετικοί, ο λογάριθμος, όμως, μηδενίζεται στο x=1/2. Οπότε, ναι τσεκάρεις αριστερά και δεξιά από το 1/2 πως συμπεριφέρεται ο λογάριθμος.

 

Επίσης, επειδή δεν θυμάμαι, είχαμε διδαχτεί στο λύκειο κυρτότητες και όρια στην μελέτη της συνάρτησης; Για να είναι πλήρης η μελέτη θες κι αυτά, αλλά δεν ξέρω αν είναι διδαγμένα.

 

 

Και εννοείται ότι στο x=1/2 παρουσιάζεται ακρότατο...

[GeorgeMan]

Ναι κυρτοτητες και ν-στη παραγωγος ειναι μεσα.

[SweeT_DreamS]

Δε ζητάει μελέτη όμως...

[Tracer27]

Ναι αλλά δεν τα χρειάζομαι...Μια τελευταία ερώτηση ο λογάριθμος οκ μηδενίζεται στο χ=1/2...Βρίσκεις την παράγωγο του g(x)=ln(x/1-x) βγαίνει θετική....Ντύνεις δεξιά αριστερά απο το 1/2 με την g που ξέρεις την μονοτονία και βρήκες το πρόσημο της g που είναι και πρόσημο της f΄ σωστά???

[SweeT_DreamS]

Ναι αλλά δεν τα χρειάζομαι...Μια τελευταία ερώτηση ο λογάριθμος οκ μηδενίζεται στο χ=1/2...Βρίσκεις την παράγωγο του g(x)=ln(x/1-x) βγαίνει θετική....Ντύνεις δεξιά αριστερά απο το 1/2 με την g που ξέρεις την μονοτονία και βρήκες το πρόσημο της g που είναι και πρόσημο της f΄ σωστά???

 

Γιατί να πάρεις την παράγωγο της g; Το πρόσημό της πρέπει να βρεις.

 

edit: Άκυρη η ερώτηση. Κάτι μου λέει πως η g δεν ορίζεται στο (0,1), έτσι δεν είναι;... Το 1-χ<0 και το χ>0.

[louros]

Λοιπόν παίδες η f γνησίως αύξουσα για χ ε (0,1/2) και γνησίως φθίνουσα για χ 3 (1/2,1).

Εχει μόνο ένα ακρότατο,ολικό μέγιστο για χ=1/2 το f(1/2)=1/2!!

Υπόδειξη:Βρίσκουμε f '(x)=(x^x)((1-x)^(1-x))ln(x/(1-x))