Βιβλίο μαθηματικών 3ής λυκείου

[C6WGMN]

Βιβλίο μαθηματικών 3ής λυκείου, σελίδα 151:

Συνάρτηση 1-1

Έστω η συνάρτηση f(x) = 1/x. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε x1, x2 διάφορο 0 ισχύει η συνεπαγωγή:

"Αν x1 διάφορο x2 τότε f(x1) διάφορο f(x2)",

που σημαίνει ότι:

"Τα διαφορετικά στοιχεια x1, x2 ανήκουν Df έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες"

 

Η ευθεία f(x) = β δεν είναι 1-1, δηλαδή δεν ισχύει f(x1) διάφορο f(x2) με x1, x2 άνισα και ανήκουν Df διότι f(x1) = f(x2). Ισχύει όμως ότι τα διαφορετικά αυτά στοιχεια θα έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες, την ευθεία που διέρχεται από το (0, β) και είναι παράλληλη του άξονα χ'χ στο καρτεσιανό επίπεδο.

 

Πριν πούμε ότι το βιβλίο είναι λάθος, μήπως αμέλησα εγώ κάτι?

[SweeT_DreamS]

Βιβλίο μαθηματικών 3ής λυκείου, σελίδα 151:

 

 

Η ευθεία f(x) = β δεν είναι 1-1, δηλαδή δεν ισχύει f(x1) διάφορο f(x2) με x1, x2 άνισα και ανήκουν Df διότι f(x1) = f(x2). Ισχύει όμως ότι τα διαφορετικά αυτά στοιχεια θα έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες, την ευθεία που διέρχεται από το (0, β) και είναι παράλληλη του άξονα χ'χ στο καρτεσιανό επίπεδο.

 

Πριν πούμε ότι το βιβλίο είναι λάθος, μήπως αμέλησα εγώ κάτι?

 

Ποιά είναι η ερώτησή σου ακριβώς;

[C6WGMN]

Το f(x1) και f(x2) είναι οι "εικόνες" του x1 και του x2 αντίστοιχα...κι όχι το αντίστροφο.

Ποιά είναι η ερώτησή σου ακριβώς;

 

Ο ορισμός σου είναι λάθος. Σελίδα 87 του ιδιου βιβλίου:

Κάθε μιγαδικό αριθμό α + βι μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M(α, β) ενός καρτεσιανού επιπεδου. Αλλα και αντιστρόφως, κάθε σημείο M(α, β) του καρτεσιανού αυτού επιπεδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α + βι. Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού α + βι.

Έχτος αν εικόνα συνάρτησης έχει διαφορετική σημασία από εικόνα μιγαδικού.

[SweeT_DreamS]

Ο ορισμός σου είναι λάθος. Σελίδα 87 του ιδιου βιβλίου:

 

Έχτος αν εικόνα συνάρτησης έχει διαφορετική σημασία από εικόνα μιγαδικού.

 

Ναι, γράψε λάθος.

 

Η ερώτησή σου ποιά είναι λοιπόν;...Γιατί λέει το βιβλίο πως τα διαφορετικά στοιχεία x1,x2 που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της 1-1 συνάρτησης, έχουν πάντα διαφορετικές εικόνες;...

Γιατί να είναι λάθος αυτό; δεν καταλαβαίνω.

 

---

Α στο καλό σου. Με μπέρδεψες.

Ναι..."εικόνα" του χ, είναι το f(x).

Πφφφ...θα ξεχάσουμε και τα ολίγα μαθηματικά που ξεύρουμε

[parsifal]

Ο ορισμός σου είναι λάθος. Σελίδα 87 του ιδιου βιβλίου:

 

Έχτος αν εικόνα συνάρτησης έχει διαφορετική σημασία από εικόνα μιγαδικού.

 

Ο ορισμός της εικόνας ίναι όντως αυτός που έδωσε η SweeT_DreamS: Για κάθε x ανήκον στο Df, η αντίστοιχη εικόνα του μέσω της f (και όχι η εικόνα της f ή εικόνα συνάρτησης) είναι η τιμή f(x).

 

Η ευθεία f(x) = β που έδωσες δεν είναι 1-1, διότι δύο οποιαδήποτε διαφορετικά x1, x2 έχουν πάντα την ίδια εικόνα, την τιμή β. Η εικόνα τους με λίγα λόγια δεν είναι ένα σημείο του καρτεσιανού επιπέδου (η προβολή τους επάνω στην f(x) = β) όπως υπέθεσες, αλλά μία τιμή σκέτη, η β.

 

Αν θυμάσαι ίσως και από το σχολείο, ένας παραστατικός τρόπος για την εξήγηση της συνάρτησης ήταν με βελάκια που ξεκινούν το καθένα από τα στοιχεία ενός συνόλου (το πεδίο ορισμού της f) και καταλήγει το καθένα σε ένα μόνο στοιχείο ενός 2ου συνόλου (το σύνολο τιμών της f). Ε, το κάθε ένα από τα στοιχεία του 2ου συνόλου είναι η «εικόνα» του/των αντίστοιχου/ων στοιχείου/ων του 1ου συνόλου, στην άλλη άκρη του βέλους. 1-1 λοιπόν είναι οι συναρτήσεις που σε κάθε ένα από τα στοιχεία του 2ου συνόλου αντιστοιχεί μόνο ένα στοιχείο του 1ου.

 

 

Η παραπάνω μουτζούρα είναι μία 1-1 συνάρτηση.

 

 

Ενώ αυτή η μουτζούρα δεν είναι.

 

 

Ομοίως και η f(x) = β...

[SweeT_DreamS]

Ο ορισμός της εικόνας ενός είναι όντως αυτός που έδωσε η SweeT_DreamS: Για κάθε x ανήκον στο Df, η αντίστοιχη εικόνα του μέσω της f (και όχι η εικόνα της f ή εικόνα συνάρτησης) είναι η τιμή f(x).

 

Η ευθεία f(x) = β που έδωσες δεν είναι 1-1, διότι για δύο οποιαδήποτε διαφορετικά x1, x2 έχουν πάντα την ίδια εικόνα, την τιμή β. Η εικόνα τους με λίγα λόγια δεν είναι ένα σημείο του καρτεσιανού επιπέδου (η προβολή τους επάνω στην f(x) = β) όπως υπέθεσες, αλλά μία τιμή σκέτη, η β.

 

Να πώς φαίνεται ο άνθρωπος που παίζει στα δάχτυλα τις συναρτήσεις!

Φτου φτου να μη σας ματιάσω monsieur parsifal.

[thanocaster]

Διότι δεν έχεις f(β) = β, αλλά f(x) = β. Δηλαδή, το x είναι η μεταβλητή σου, και το β μια σταθερά. Δηλαδή, για οποιαδήποτε x1,x2, οι εικόνες είναι f(x1)=f(x2)=β.

 

Άρα, δεν μπορεί η συνάρτηση f(x) = β να είναι 1-1.

 

ΥΓ> Προφανώς και η f(β) = β είναι 1-1.

 

ΕΝΤΙΤ: Γκρρρ... Καταραμένα ταμπς. Με ρεζίλεψε (άλλη μια φορά) ο Πάρσιφαλ.