Επιφανειακό ολοκλήρωμα

[katerina_a_86]

Να υπολογιστεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα της Ζ^2 = χ^2 + y^2

για z από 1 έως 4.

 

Αυτό έπεσε σήμερα. Εγώ δεν διάβασα μεθοδολογία επιφανειακών ολοκληρωμάτων και προσσπάθησα να το βγάλω αλλιώς:

H z αναπαριστά ένα παραβολοειδές στον χώρο σαν αυτό του σχήματος.

Σκέφτηκα ότι η επιφάνεια της z που βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων z=1 και z=4 είναι το άθροισμα των περιφερειών των στοιχειωδών κύκλων από τους οποίους αποτελείται η επιφάνεια (και η ακτίνα των οποίων αυξάνεται)

 

Η περιφέρεια ενός κύκλου είναι 2πR οπότε στην περίπτωσή μας θα είναι 2πz όπου το z αυξάνεται από 1 έως 4 οπότε και υπολόγισα το ολοκλήρωμα :

 

 

Ε = (ορισμένο ολοκλήρωμα από 1 έως 4) της 2πΖ = [πΖ^2] από 1 έως 4 = π*4^2 - π*1^2 = 15π

 

Είναι σωστό ή τελείως βλακεία?? Θα περάσω ή όχι?? Ξέρει κανείς μαθηματικά??

[andreapaog328]

εγώ άλλο βρήκα με πολικές συντεταγμένες...

 

 

έδιτ...βγήκε beta 2...42π βρήκα αλλά ίσως να λέω και μπούρδες

εδιτ 2 beta 3

[jason_rethymno]

Πω ρε καλά εσύ είσαι Αινσταιν!

 

Αυτό για τί επίπεδο είναι? 3η Λυκείου ? Πανεπιστήμιο? Τι?

[andreapaog328]

πανεπιστήμιο μαθηματικα ΙΙ σε μας

[katerina_a_86]

andreapaog328 μήπως είναι όγκος αυτό που βρήκες?

(και σε μας μαθηματικα ΙΙ είναι, τι σχολή είσαι?)

[andreapaog328]

ναι τώρα που το λές...ο όγκος είναι...

[katerina_a_86]

Από επιφανειακά ξέρεις τπτ?

Any other ideas?

[andreapaog328]

μπά Green και Stokes δεν κάναμε εμείς μάλλον θα τα κάνουμε πιό πέρα...καραθογράφω άλλη μία ιδέα που μου ήρθε...

[censOred]

κατσε ρε κατερινα.

σου ζηταει το επιφανειακό της z^2=x^2 + y^2.

δηλαδή

S S z^2 dxdy

προβαλεις το παραβολοειδές στο xy επιπεδο και χρησιμοποιείς πολικές.

δεν βρισκω που έχει κανει λαθος ο andreapaog.

 

Α και εμενα μου βγαινει 8π.

τον λογισμο ΙΙ δεν τον παω μια σαν μαθημα.

 

Και να πω και αναλυτικά τι εκανα θες επιφανειακο συναρτησης,αρα ψάχνεις ογκο ουσιαστικά

βλεπεις το παραβολοειδές που ειναι σαν του σχηματος σου,βρισκεις την τομή του z^2=x^2+y^2 με το επιπεδο z=4 αρα χ^2+y^2=4

επομένως με πολικές θα σου βγει το διπλο S dθ,απο 0 εως 2π S χ^2+y^2=r^2 επι rdr όπου r απο 0 έως 2.

[andreapaog328]

χμ...χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδό βρήκα 15π ριζα 2. Μάλλον δεν θα βγάλουμε άκρη...σε αυτά τα μαθήματα ξέρετε πως είναι...ο καθένας βρίσκει το δικό του...

 

εδιτ^2 : το wolfram alpha δίνει εξίσωση παραβολοιδούς την z = (x^2 + y^2)/a^2.

η z^2 = x^2 + y^2 όπως λέει εδώ είναι κώνος...

αν είναι όντως κώνος μπορείς γρήγορα να βρέις το εμβαδόν απο τον τύπο Α = πR( R^2 + h^2) που λέει απο κάτω. Σε αυτόν έβαλα R = 4, μετά Ρ =1 τα αφαίρεσα και βρήκα 15π ριζα 2 όπως με τον τύπο που έχω βάλει στην εικόνα.

 

@ censOred για z = 4 δεν θα έπρεπε να έχεις κύκλο χ^2 + y^2 = 16 απο την εξίσωση z^2 = χ^2 + y^2 ?

[censOred]

δευτερη φορα το δωσα το γαμωμαθημα τωρα Σεπτεμβρη και παλι μπερδευομαι σε βασικα.

πρωτα απολα κατερινα η επιφανεια αυτή που σου δινει ειναι κώνος για την ακριβεια.

παραβολοειδές θα ταν αν ηταν z=x^2 + y^2.

βρισκεις το z σαν ριζτα του χτετραγωνο και yτετραγωνο και υπολογιζεις τις μερικές παραγώγους του z ως προς χ και y.αρα βρισκεις το ds=ριζα(1+(z'x)^2 + (z' y)^2)

τώρ μετα σου λεει απο 1 έως 4 για το z και αυτο με προβληματιζει λιγο τώρα που το ξαναβλέπω..

[andreapaog328]

πάνω στο edit με πρόλαβες

[katerina_a_86]

κώνος ε? γαμωτο...

 

Πάντως πέρα από αυτό αν υποθέσουμε πως δεν ξέρω να χρησιμοποιώ επιφανειακά ολοκληρώματα, αυτό που έκανα έχει λάθος?

Γιατί και κώνος να είναι αν ο συλλογισμός είναι σωστός τότε δεν πειράζει.

Επιφανειακά θα μάθω την άλλη φορά που θα το δώσω, απλά θέλω να ξέρω μήπως υπάρχει ελπίδα να το περάσω και να μην μάθω ποτέ...

[-nick-]

Ανάλυση 2 είναι σε μας.

Διάβασμα από γκαρούτσο και περνιέται.

[katerina_a_86]

Κι εγώ γκαρούτσο, πολύ καλός.

(εκτός από τα επιφανειακά που δεν τα διάβασα και αναγκάστηκα να κάνω αυτή την βλακεία)

 

άσχετο το ολοκλήρωμα του cos (x^2) ξέρει κανείς πως βγαίνει?