Περί μαθηματικής απόδειξης.

[Teaser]

Δεν είπε κανείς τη λέξη ακριβώς. Γι' αυτό θεωρούμε το αυτονόητο.

 

Αν θες να παίξουμε παιχνίδι τρέλας, μπορώ να πιαστώ από το ότι δεν είπες "ο χρήστης με username Krokodeilos" και να σου λέω "μα δε μπήκε κανένας κροκόδειλος στο insomnia! Άσε που φοβάμαι τους κροκοδείλους, μπρρρ".

Φίλε, όλα είναι θέμα λογικής και όχι παιχνίδι τρέλας. Αοριστίες, γενικότητες και ασάφειες ευτυχώς τα μαθηματικά δεν συγχωρούν. Άλλο αν η φυσική γλώσσα περιέχει αναρίθμητες.Στη φυσική γλώσσα άλλα μπορούμε να πούμε και άλλα ενοούμε και αλλα καταλαβαίνει ο ακροατής. Έχω παράδειγμα μέλους του Insomnia σ'αυτό που λέω.(μιας και ανέφερες το Insomnia)

[pmandd]

Αφού ο κροκόδειλος σου εξηγεί ότι αυτό που λες δεν ισχύει. Μπορεί να έχει 4 ακριβώς λύσεις αλλά να μην έχει 3 ακριβώς.

 

Τώρα το είδα αυτό...Υπάρχει δηλ. περίπτωση να έχει ακριβώς 4 λύσεις και ταυτόχρονα να έχει ακριβώς 3;

[Teaser]

Τώρα το είδα αυτό...Υπάρχει δηλ. περίπτωση να έχει ακριβώς 4 λύσεις και ταυτόχρονα να έχει ακριβώς 3;

Όχι φυσικά!

Για να εξηγούμαι (γιατί όπως είπα η φυσική γλώσσα...)

"Αφού ο κροκόδειλος σου εξηγεί ότι αυτό που λες δεν ισχύει. Μπορεί να: (έχει 4 ακριβώς λύσεις και όχι 3 ακριβώς)."

[kvgreco]

Παιδιά επειδή και σε άλλο φόρουμ έγινε μπάχαλο με τη συγκεκριμένη άσκηση αν και δείχνει τόσο απλή( άρα δεν έπρεπε να υπάρχει σύγχυση), αναφέρω ξανά το ερώτημα όσο πιό απλά γίνεται αλλά δεν θα πω τίποτα το διαφορετικό επί της ουσίας.Την άσκηση δεν την έβαλα εγώ απλά τη μετέφερα εδώ.Η άσκηση έλεγε διάφορα που δεν είναι ανάγκη να τα πούμε εδώ, αλλά η διαφωνία υπήρξε στο πώς δουλεύουμε γιά το συγκεκριμένο ερώτημα.

Αν σε μιά άσκηση μας ζητάει να αποδείξουμε ότι μιά εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες ποιά είναι η συνήθης πρακτική ώστε χωρίς αμφισβήτηση να έχουμε απαντήσει?

Δεν νομίζω ότι πρέπει να τσακωνόμαστε.Όλοι κάνουμε λάθη.Αλλά εγώ δεν έχω βγάλει ακόμη οριστικό συμπέρασμα.Μπορεί να είμαι λίγο βλάκας ίσως, αλλά δεν είναι ντροπή!

[Chris_85]

ν μικροτερο ή ισο του 2, ν ανηκει στους φυσικους(0,1,2,3,....,n).

 

(οπου ν ο αριθμος των ριζων)

 

Κανε υποθεση οτι ν μεγαλυτερο του 2 και προσπαθησε να καταληξεις σε ατοπο.

 

(αν μπορω να συνεισφέρω κατι με τις οποιες γνωσεις μου χουν απομεινει απ την Γ' Λυκειου!)

[Teaser]

Αν σε μιά άσκηση μας ζητάει να αποδείξουμε ότι μιά εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες ποιά είναι η συνήθης πρακτική ώστε χωρίς αμφισβήτηση να έχουμε απαντήσει?

Στα πλαίσια των Μαθηματικών του Λυκείου (που υποθέτω ότι είσαι) αν θυμάμαι καλά, πρέπει:

 

• να θεωρήσεις αυθαίρετα ότι υπάρχουν 3 ρίζες.

 

• Aποδείκνύεις με διάφορα κόλπα ότι δεν μπορούν να υπάρχουν 3 λύσεις στη συγκεκριμένη άσκηση.

Άρα, αναγκαστικά η εξίσωση έχει το πολύ 2 ρίζες.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chris, σωστός. Αρκεί να αποδείξει ότι δεν μπορεί να έχει 3 λύσεις.

 

Sorry για τα 3548 edit, το πολύ διάβασμα στην εξεταστική δεν κάνει καλό.

[Chris_85]

• Αποδείκνύεις με διάφορα κόλπα ότι δεν μπορούν να υπάρχουν 3 λύσεις στη συγκεκριμένη άσκηση.

Άρα, αναγκαστικά η εξίσωση έχει το πολύ 2 ρίζες.

 

Αν αποδειξεις οτι μια εξισωση δεν μπορει να εχει ακριβως 3 λυσεις, δεν κερδιζεις τπτ κ δεν αποδεικνθεις το ζητουμενο.

 

Αυτο που χρειαζεται ειναι να αποδειξει οτι δε μπορουν να υπαρχουν 3 και ανω λυσεις.

[Teaser]

Αν αποδειξεις οτι μια εξισωση δεν μπορει να εχει ακριβως 3 λυσεις, δεν κερδιζεις τπτ κ δεν αποδεικνθεις το ζητουμενο.

 

Αυτο που χρειαζεται ειναι να αποδειξει οτι δε μπορουν να υπαρχουν 3 και ανω λυσεις.

Ναι, αυτό λέω, τουλάχιστον στα πλαίσια του Λυκείου, από τι θυμάμαι, αρκούσε να αποδείξεις ότι δεν μπορεί να έχει 3 λύσεις.

[johnnyestia]

Αν αποδείξει ότι δεν μπορούν να υπάρχουν 3 διαφορετικές λύσεις έτσι όπως το θέτει ο Teaser, τότε προφανώς δεν υπάρχουν 4.

 

Αυτό πάει κατ'αναλογία του άν αποδείξεις πως δεν υπάρχουν 3 διαφορετικοί άνθρωποι που να έχουν πάει στο φεγγάρι, αποκλείεται να έχουνε πάει 4

[Krokodilos]

Παιδιά επειδή και σε άλλο φόρουμ έγινε μπάχαλο με τη συγκεκριμένη άσκηση αν και δείχνει τόσο απλή( άρα δεν έπρεπε να υπάρχει σύγχυση), αναφέρω ξανά το ερώτημα όσο πιό απλά γίνεται αλλά δεν θα πω τίποτα το διαφορετικό επί της ουσίας.Την άσκηση δεν την έβαλα εγώ απλά τη μετέφερα εδώ.Η άσκηση έλεγε διάφορα που δεν είναι ανάγκη να τα πούμε εδώ, αλλά η διαφωνία υπήρξε στο πώς δουλεύουμε γιά το συγκεκριμένο ερώτημα.

Αν σε μιά άσκηση μας ζητάει να αποδείξουμε ότι μιά εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες ποιά είναι η συνήθης πρακτική ώστε χωρίς αμφισβήτηση να έχουμε απαντήσει?

Μπορεις να βαλεις εδω την ασκηση γιατι αυτο που ζητας ειναι τελειως ασαφες και πρεπει να παρουμε πολλες περιπτωσεις(πχ ειδος εξισωσης, σε πιο χωρο ειναι η λυση(πχ στους μιγαδικους ή στους πραγματικους), κλπ) οποτε δεν ειναι πρακτικο .

[johnnyestia]

Ναι, αυτό λέω, τουλάχιστον στα πλαίσια του Λυκείου, από τι θυμάμαι, αρκούσε να αποδείξεις ότι δεν μπορεί να έχει 3 λύσεις.

 

Στα Μαθηματικά δεν υπάρχουν πλαίσια Λυκείου κτλ. Υπάρχουν σύνολα με ξεχωριστά αξιώματα.

[kvgreco]

Μπορεις να βαλεις εδω την ασκηση γιατι αυτο που ζητας ειναι τελειως ασαφες και πρεπει να παρουμε πολλες περιπτωσεις(πχ ειδος εξισωσης, σε πιο χωρο ειναι η λυση(πχ στους μιγαδικους ή στους πραγματικους), κλπ) οποτε δεν ειναι πρακτικο .

Θα πώ την πλήρη άσκηση αλλά δεν νομίζω πως έχει σημασία.Έτσι κι αλλιώς το ερώτημα δεν έχει σχέση με την υπόλοιπη άσκηση αυτή καθαυτή, γιατί τέτοιο ερώτημα μπορείς να συναντήσεις παντού.Φοβάμαι όμως ότι θα αρχίσετε να συζητάτε την άσκηση ενώ εγώ θέλω την πρακτική για το ερώτημ.Λέει λοιπόν:

 

Να δείξετε ότι μιά κοίλη και μιά κυρτή συνάρτηση έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

 

Εν ολίγοις θεωρείς μιά νέα συνάρτηση που είναι η διαφορά των δύο συναρτήσεων και προσπαθείς να δείξεις ότι έχει το πολύ δύο ρίζες.Άρα δεν αλλάζει και τίποτα.Ακεί να δείξω τι?Αυτό είναι το ερώτημα.

[Teaser]

Να δείξετε ότι μιά κοίλη και μιά κυρτή συνάρτηση έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία

Ε, αφού έχουν, φαίνεται από το σχήμα!

[Krokodilos]

Θα πώ την πλήρη άσκηση αλλά δεν νομίζω πως έχει σημασία.Έτσι κι αλλιώς το ερώτημα δεν έχει σχέση με την υπόλοιπη άσκηση αυτή καθαυτή, γιατί τέτοιο ερώτημα μπορείς να συναντήσεις παντού.Φοβάμαι όμως ότι θα αρχίσετε να συζητάτε την άσκηση ενώ εγώ θέλω την πρακτική για το ερώτημ.Λέει λοιπόν:

 

Να δείξετε ότι μιά κοίλη και μιά κυρτή συνάρτηση έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

Χμμ για να δουμε λοιπον. Τετριμμενο φαινεται:

 

Εστω οτι η f(x) ειναι κυρτη στο πραγματικο διαστημα [α,β] και η g(x) στο πραγματικο διαστημα [γ,δ] κοιλη.

 

**Εδω πρεπει να σκεφτουμε οτι η f(x), g(x) αφου ειναι κυρτη και κοιλη αντιστοιχα, πρεπει να ειναι ορισμενες σε διαστημα και οχι σε συνολο το οποιο να μην ειναι διαστημα, καθως πρεπει να ειναι συνεχεις.

Μπορουμε να επεκτεινουμε βεβαια τον ορισμο της κυρτης και σε συνολα αλλα αυτο δεν θα εχει καμια πρακτικη σημασια για την λυση του προβληματος και η λυση θα μπορει ευκολα να γενικευτει και για συναρτησεις με πεδιο ορισμου συνολα.

 

Ισχυουν λοιπον λογω του ορισμου της κυρτης και κοιλης συναρτησης οτι:

(1)Η f'(x) υπαρχει και ειναι γνησιως αυξουσα στο (α,β) και f(x) συνεχης στο [α,β].

(2)Η g'(x) υπαρχει και ειναι γνησιως φθινουσα στο (γ,δ) και g(x) συνεχης στο [γ,δ].

 

Εχουμε λοιπον:

 

•1η περιπτωση: [α,β]∩[γ,δ] = κενο συνολο

Τοτε οι f,g συναρτησεις δεν εχουν κανενα κοινο σημειο αρα εχουν το πολυ 2 κοινα σημεια. Ο.Ε.Δ.

 

•2η περιπτωση: [α,β]∩[γ,δ] = χ οπου χ πραγματικος αριθμος.

Τοτε οι f,g συναρτησεις εχουν το πολυ 1 σημειο κοινο καθως το πεδιο ορισμου τους ειναι μονο ενας αριθμος, αρα εχουν το πολυ 2 κοινα σημεια. Ο.Ε.Δ.

 

•3η περιπτωση: [α,β]∩[γ,δ] = [ε,ζ]

Για αριθμους χ1,χ2 μεσα στο διαστημα [ε,ζ] με χωρις μειωση της γενικοτητας χ1<χ2 ισχυουν λογω (1) και (2) οι συνεπαγωγες:

χ1 < χ2 => f'(χ1) < f'(χ2)

χ1 < χ2 => g'(χ1) > g'(χ2) => -g'(χ1) < -g'(χ2)

 

Με προσθεση κατα μελη εχουμε:

f'(χ1)-g'(χ1) < f'(χ2)-g'(χ2) και οριζοντας την συναρτηση:

π(χ) = f(x) - g(χ) στο διαστημα [ε,ζ] εχουμε οτι ισχυει:

 

π'(χ1) < π'(χ2) καθως η π(χ) παραγωγισιμη στο [ε,ζ].

Αρα π'(χ) ειναι γνησιως αυξουσα στο (ε,ζ). (3)

 

Το προβλημα τωρα αναγεται στο να αποδειξουμε οτι η π(χ) εχει το πολυ 2 ριζες στο [ε,ζ].

•Εστω οτι εχει 3 τουλαχιστον ριζες. Εστω 3 απο αυτες οι α1,α2,α3 οπου φυσικα ειναι ανισες και ανηκουν στο [ε,ζ] και χωρις μειωση της γενικοτητας ισχυει α1 < α2 < α3.

Ισχυουν π(α1) = π(α2) = π(α3) = 0.

Απο θεωρημα Rolle στα διαστηματα [α1,α2] και [α2,α3] οπου ισχυουν ολες οι γνωστες συνθηκες, ισχυει:

Υπαρχει ξ1 στο (α1,α2) ετσι ωστε να ισχυει π'(ξ1)=0

Υπαρχει ξ2 στο (α2,α3) ετσι ωστε να ισχυει π'(ξ2)=0

Δηλαδη π'(ξ1) = π'(ξ2) (4)

 

Προφανως ξ1<ξ2 αρα λογω (3) ισχυει π'(ξ1) < π'(ξ2)

Το τελευταιο ειναι ατοπο λογω (4).

 

Αρα η υποθεση μας οτι η εχει 3 τουλαχιστον ριζες η π(χ) ηταν λανθασμενη.

Αρα εχει το πολυ 2 ριζες.

Ο.Ε.Δ.

 

Λογω της ωρας και γενικα της μερας ειμαι λιγο ζαλισμενος οποτε ισως εχω κανει κατι λαθος που δεν βλεπω τωρα. Θα το ξαναδω αυριο....

[FarCry]

Αυτό πάει κατ'αναλογία του άν αποδείξεις πως δεν υπάρχουν 3 διαφορετικοί άνθρωποι που να έχουν πάει στο φεγγάρι, αποκλείεται να έχουνε πάει 4

 

says who? μπορεί να έχουν πάει 4 και όχι 3. γιατί ντε και καλά πριν τους 3 αστροναύτες να είναι 2?

 

Ε, αφού έχουν, φαίνεται από το σχήμα!

 

αυτό δεν είναι απόδειξη.

***αυτόματη ένωση μηνυμάτων***

Θα πώ την πλήρη άσκηση αλλά δεν νομίζω πως έχει σημασία.Έτσι κι αλλιώς το ερώτημα δεν έχει σχέση με την υπόλοιπη άσκηση αυτή καθαυτή, γιατί τέτοιο ερώτημα μπορείς να συναντήσεις παντού.

 

αυτό που είπε ο Dr Lo εξαρχής (και εγώ εν συνεχεια)

 

Αρα η υποθεση μας οτι η εχει 3 τουλαχιστον ριζες η π(χ) ηταν λανθασμενη