Περί μαθηματικής απόδειξης.

[Teaser]

Αρχηγέ kvgreco, την έλυσες την άσκηση.

[Krokodilos]

Πολυ, μα πολυ ασαφεια σε αυτο το τοπικ ρε παιδι μου.:cry::cry:

 

Παιδιά αν σε μιά άσκηση αποδείξω ότι μιά εξίσωση δεν μπορεί να έχει τρείς ρίζες, έχω αποδείξει τότε ότι έχει το πολύ δύο ρίζες όπως ρωτάει η άσκηση?Ή μήπως θέλει και κάτι ακόμη?

Thanks

Πρεπει να ξεκαθαρισεις στο μυαλο σου μερικα πραγματα:

 

•1ον: Επειδη δεν εχει οριστει η εκφραση πχ "δεν μπορει εχει αυτη η εξισωση 3 ριζες" υπαρχει απροσδιοριστια στο τι σημαινει και μπορει να σημαινει:

"δεν μπορει να εχει αυτη η εξισωση 3 ακριβως ριζες"

ή "δεν μπορει να εχει αυτη η εξισωση 3 ριζες τουλαχιστον" (το τελευταιο σημαινει: "δεν μπορει να εχει αυτη η εξισωση 3 ή και παραπανω ριζες")

 

Πχ οταν εχω ενα καλαθι μηλα και μου πεις "Να παρω 3 μηλα απο το καλαθι?"

Αν εγω παρω 5 μηλα απο το καλαθι εσυ δεν θα εχεις κανενα δικαιωμα να μου πεις "Μα γιατι πηρες 5, αφου ειπες οτι θα παρεις 3?" και δεν θα εχεις δικαιωμα γιατι εγω μπορω να αντιπαραθεσω την αποψη:

"Σου ειπα οτι θα παρω 3 μηλα. Ε μεσα σε αυτα τα 5 που πηρα βρισκονται και τα 3 μηλα που ειπα οτι θα παρω. Τα εξτρα 2 μηλα που πηρα δεν εχουν σημασια και δεν αντικρουουν αυτο που αρχικα ειπα."

 

Αυτο που θελω να δειξω εδω περα δηλαδη ειναι οτι πρεπει να χρησιμοποιεις τις εκφρασεις "ακριβως", "τουλαχιστον", "το πολυ" παντα σε τετοιου ειδους εκφρασεις στα μαθηματικα αλλιως εχουμε απροσδιοριστια.

 

•2ον:Οταν λες "λυση μιας εξισωσης" και σταματας εκει εισαι λαθος. Πρεπει να πεις σε ποιον χωρο, σε ποιο συνολο αριθμων ανηκει η λυση αυτη. Πχ λυση μιας εξισωσης στους μιγαδικους αριθμους. Πχ λυση μια εξισωσης στους πραγματικους αριθμους κλπ.

 

Τωρα οσον αφορα το προβλημα:

Λέει λοιπόν η άσκηση διάφορα και στο τέλος ζητάει να αποδείξω ότι μιά εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες.Είναι αρκετό να δείξω ότι δεν μπορεί να έχει τρείς?

Τι είναι αρκετό να αποδείξω ώστε να μην επιδέχεται καμμία αμφισβήτηση?

Μιά εξίσωση που αποδεικνύω(μάλιστα το απέδειξα αυτό) ότι δεν έχει τρείς ρίζες σημαίνει ότι θα έχει το πολύ δύο?Καί αν έχει το πολύ μία?Δεν είμαι τότε out?

Αρχικα βεβαια οριζουμε οτι αυτο που λες ως:

"Μιά εξίσωση που αποδεικνύω(μάλιστα το απέδειξα αυτό) ότι δεν έχει τρείς ρίζες σημαίνει ότι θα έχει το πολύ δύο? "

οτι σημαινει:

"Μιά εξίσωση που αποδεικνύω(μάλιστα το απέδειξα αυτό) ότι δεν έχει τρείς ακριβώς ρίζες σημαίνει ότι θα έχει το πολύ δύο?"

 

Αν μιλαμε για αγνωστου ειδους εξισωση τοτε αυτο που λες: Οχι δεν ισχυει.

 

Αν μιλαμε για πολυωνυμικη εξισωση που πιθανοτατα σε τετοια θα αναφερεσαι τοτε:

Αν μιλαμε για το συνολο των μιγαδικων αριθμων τοτε εχει τουλαχιστον τοσες ριζες οσες και ο βαθμος της εξισωσης, οποτε αν μιλας για 3βαθμια εχει τουλαχιστον 3 ριζες(βασικα ή ακριβως 3 ή απειρες) στο συνολο των μιγαδικων.

Στο συνολο των πραγματικων η 3βαθμια εχει ή ακριβως 3 ή ακριβως 2 ή ακριβως 1 ή καμια ή απειρες ριζες οποτε....(μην σου λυσω και την ασκηση).

 

 

Αν αποδειχτεί ότι η εξίσωση δε μπορεί να έχει τρεις ρίζες, τότε σίγουρα δεν θα έχει περισσότερες, διότι τότε θα είχε και τρεις.

Βαζεις στοιχημα?

 

Επισης αυτο το "Αν αποδειχτεί ότι η εξίσωση δε μπορεί να έχει τρεις ρίζες, τότε σίγουρα δεν θα έχει περισσότερες" το εκλαμβανω ως "Αν αποδειχτεί ότι η εξίσωση δε μπορεί να έχει τρεις ακριβως ρίζες, τότε σίγουρα δεν θα έχει περισσότερες"

διοτι εις αντιθετην περιπτωση οπου εννοουσες "Αν αποδειχτεί ότι η εξίσωση δε μπορεί να έχει τρεις ή και παραπανω ρίζες, τότε σίγουρα δεν θα έχει περισσότερες" μιλαμε για τετριμμενα πραγματα δηλαδη με απλα λογια θα εννοουσες "Αν δεν εχουμε 3 ή και παραπανω λυσεις τοτε δεν εχουμε 3 ή και παραπανω λυσεις." πραγμα το οποιο θα ηταν τελειως κουτο να γραφτει.

Οποτε εννοουσες το "ακριβως" που ανεφερα.

Αρα:

 

Πχ πεμπτοβαθμια εξισωση με πεδιο τιμων του χ τους πραγματικους αριθμους:

(χ-1)(χ-2)(χ-3)(χ-4)(χ-i) = 0 (Η οποια φυσικα θα δινοταν ως -24i + (24 + 50i)x - (50 + 35i)x^2 + (35 + 10i)x^3 - (10 + i)x^4 + x^5 = 0 )

Η εξισωση αυτη δεν εχει 3 ακριβως λυσεις(3 λυσεις οπως ειπες εσυ) στους πραγματικους αριθμους αλλα εχει 4.

Οποτε αν δειξουμε(με καποιον τροπο) οτι δεν εχει 3 (ακριβως) λυσεις τοτε δεν μπορουμε οπως ειπες να αποκλεισουμε οτι δεν εχει και 4.

 

Οποτε:

Απίστευτο το πόσα ποστ χρειάστηκε για να διατυπωθεί η παραπάνω απλή αλήθεια.

Απλη what?

[teo64x]

Απλη what?

 

Απλούστατη. Ο συλλογισμός σου είναι απίστευτα biased κατά τη γνώμη μου, απλά για να αποδείξεις ότι μπορεί να υπάρξει παραπάνω ανάλυση στο θέμα. Όντως μπορεί, αλλά όταν λέμε πρέπει να έχει το πολύ 2 λύσεις, αν αποδείξουμε ότι δε μπορεί να έχει 3 διαφορετικές λύσεις, έχουμε ταυτόχρονα αποδείξει ότι δεν έχει και παραπάνω.

[Krokodilos]

Όντως μπορεί, αλλά όταν λέμε πρέπει να έχει το πολύ 2 λύσεις, αν αποδείξουμε ότι δε μπορεί να έχει 3 διαφορετικές λύσεις, έχουμε ταυτόχρονα αποδείξει ότι δεν έχει και παραπάνω.

Τωρα προσθεσες το διαφορετικες.

 

Για δες πιο πανω σε τι εκανες quote.;)

 

Αν εννοεις 3 διαφορετικες οπως το ειπες τωρα(και οχι πριν) ριζες τοτε δεν εχει σημασια αν εννοεις τουλαχιστον ή ακριβως και μπορει να χρησιμοποιηθει χωρις να βαλεις τιποτα μπροστα και πραγματι ισχυει αυτο που λες.

 

Αλλα αρχικα αυτο που εκανες quote ΔΕΝ ελεγε για διαφορετικες οποτε ημουν υποχρεωμενος να κανω την ερωτηση:

3 ΑΚΡΙΒΩΣ λυσεις ή 3 ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ(3 ή και παραπανω)?

 

Και αν εννοουσες το 1ο τοτε εισαι λαθος(οπως εδειξα πιο πανω) ενω αν εννοουσες το 2ο τοτε λες οτι:

"Αν αποδειξουμε οτι δεν μπορει να εχει 3 ή και παραπανω λυσεις τοτε εχουμε αποδειξει οτι δεν μπορει να εχει 3 ή και παραπανω λυσεις.

[teo64x]

Για να έχει το πολύ 2 λύσεις (δηλαδή να έχει 0, 1 ή 2 λύσεις) πρέπει να αποδειχθεί ότι δεν έχει 3η λύση (έλλειψη 3ου στοιχείου στο σύνολο λύσεων σημαίνει έλλειψη και 4ου, 5ουκ, κλπ). Αυτό εννοεί ο topic starter, άρα αυτή είναι η λύση του προβλήματός του λοιπόν.

 

Λάθος δεν είμαι, σ' ευχαριστώ για την προσπάθεια πάντως.

[DrLo]

Βασικά στην ελληνική γλώσσα μπορεί επίσης να έχει -1, -2, -4, -2004 ρίζες

 

Επίσης μπορεί να έχει 2,56 ρίζες.

 

Όχι δε μπορεί να έχει -1 ρίζες όύτε 2,56 καθώς το πλήθος ριζών, πραγματικών ή μη, μιας εξίσωσης είναι φυσικός αριθμός .... ως πλήθος.

 

Μπορεί ίσως να έχει -204 γκραουντερσμπίγκερ.

[pmandd]

Παιδιά αν σε μιά άσκηση αποδείξω ότι μιά εξίσωση δεν μπορεί να έχει τρείς ρίζες, έχω αποδείξει τότε ότι έχει το πολύ δύο ρίζες όπως ρωτάει η άσκηση?Ή μήπως θέλει και κάτι ακόμη?

Thanks

 

H ερώτηση είναι σαφής και η απάντηση είναι σωστή, για το λόγο που ανέφερα παραπάνω. Αν η άσκηση ζητούσε να δειχτεί το ακριβές πλήθος των ριζών, θα το ζητούσε. Αν κάποιοι προσπαθούν (ανεπιτυχώς) να δείξουν κάτι που δε σχετίζεται άμεσα με την ερώτηση και πνίγονται σε μια κουταλιά νερό, πρόβλημά τους, αλλά δεν πολυβοηθούν αυτόν που άνοιξε το thread.

[teo64x]

H ερώτηση είναι σαφής και η απάντηση είναι σωστή, για το λόγο που ανέφερα παραπάνω. Αν η άσκηση ζητούσε να δειχτεί το ακριβές πλήθος των ριζών, θα το ζητούσε. Αν κάποιοι προσπαθούν (ανεπιτυχώς) να δείξουν κάτι που δε σχετίζεται άμεσα με την ερώτηση και πνίγονται σε μια κουταλιά νερό, πρόβλημά τους, αλλά δεν πολυβοηθούν αυτόν που άνοιξε το thread.

 

Ακριβώς αυτό θέλω να πω κι εγώ, με άλλα λόγια.

 

Ουσιαστικά τίποτα από αυτά που ειπώθηκαν στο thread δεν είναι λάθος.

 

Πολλοί, όμως, παρέβλεψαν το εξής σημαντικό:

-Ότι ο topic starter μπήκε μπερδεμένος για κάτι.

-Ότι εξέφρασε μια απορία που, αν και είχε κάποιες ασάφειες, ήταν προφανέστατο τι εννοούσε (εκτός ίσως αν κανείς δεν έχει ιδέα για το περιεχόμενο των βιβλίων μαθηματικών στο λύκειο).

-Ότι ζήτησε μια αποσαφήνηση για το αν έχει καταλάβει σωστά.

 

Ναι, όλα αυτά που ειπώθηκαν έχουν λογική, επαναλαμβάνω, αλλά σκοπός ήταν να δώσουμε ένα hint στον topic starter για να μπορέσει να συνεχίσει το διάβασμα, όχι να του αποδείξουμε ότι η ερώτησή του δεν ήταν αρκετά σαφής. Γράψαμε δηλαδή ένα ολόκληρο thread 23 ποστ ως τώρα, πιθανότατα μπερδεύοντας τον topic starter, ενώ είναι αυτονόητο ότι μπορούσαμε με ένα "Ναι (10 χαρακτήρες)" να του είχαμε λύσει το πρόβλημα για να μπορέσει να λύσει την άσκηση που θέλει, κι όλα αυτά σε 5 λεπτά με τά τη δημιουργία του thread. Αυτά νομίζω.

[Teaser]

Για να έχει το πολύ 2 λύσεις (δηλαδή να έχει 0, 1 ή 2 λύσεις) πρέπει να αποδειχθεί ότι δεν έχει 3η λύση (έλλειψη 3ου στοιχείου στο σύνολο λύσεων σημαίνει έλλειψη και 4ου, 5ουκ, κλπ). Αυτό εννοεί ο topic starter, άρα αυτή είναι η λύση του προβλήματός του λοιπόν.

 

Λάθος δεν είμαι, σ' ευχαριστώ για την προσπάθεια πάντως.

Αφού ο κροκόδειλος σου εξηγεί ότι αυτό που λες δεν ισχύει. Μπορεί να έχει 4 ακριβώς λύσεις αλλά να μην έχει 3 ακριβώς.

 

πρέπει να αποδειχθεί ότι δεν έχει 3η λύση

Αυτό που λες μεταφράζεται σε "δεν έχει 3 ακριβώς λύσεις", ενώ θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι "δεν έχει τουλάχιστον 3 λύσεις"

 

Και δεν είναι καθόλου απλή η όλη υπόθεση, (παρόλο που η άσκηση του τόπικ στάρτερ δεν είναι τόσο ψαγμένη), οι αοριστολογίες που ακούστηκαν δεν έχουν προηγούμενο. Ο κροκόδειλος μπήκε και έφερε την τάξη εδώ και αξίζει ένα μπράβο. Πολύ σωστός για τον τρόπο σκέψης!

[dark_banishing]

Δε ξέρω τι ακριβώς έχεις δείξει αλλά στην ελληνική γλώσσα όταν κάτι δε μπορεί να έχει 3 ρίζες μπορεί να έχει καμία 1, 2, 4, 8, 32 , 2004, 4711 κλπ

 

Βασικά στην ελληνική γλώσσα μπορεί επίσης να έχει -1, -2, -4, -2004 ρίζες

 

Επίσης μπορεί να έχει 2,56 ρίζες.

 

Όχι δε μπορεί να έχει -1 ρίζες όύτε 2,56 καθώς το πλήθος ριζών, πραγματικών ή μη, μιας εξίσωσης είναι φυσικός αριθμός .... ως πλήθος.

 

Μπορεί ίσως να έχει -204 γκραουντερσμπίγκερ.

 

Κοίτα στην ελληνική γλώσσα μπορούμε να έχουμε και 2,56 και -100 ρίζες. Τώρα αν στη μαθηματική γλώσσα δεν μπορούμε αυτό είναι άλλο θέμα.

[Krokodilos]

H ερώτηση είναι σαφής και η απάντηση είναι σωστή, για το λόγο που ανέφερα παραπάνω. Αν η άσκηση ζητούσε να δειχτεί το ακριβές πλήθος των ριζών, θα το ζητούσε. Αν κάποιοι προσπαθούν (ανεπιτυχώς) να δείξουν κάτι που δε σχετίζεται άμεσα με την ερώτηση και πνίγονται σε μια κουταλιά νερό, πρόβλημά τους, αλλά δεν πολυβοηθούν αυτόν που άνοιξε το thread.

:-(:-(

Μαθηματικα δεν ειναι η ασαφεια ουτε το να προσπαθεις να γινεις μαγος οπως εδω(και να ξερεις τι ζητουσε και τι οχι η ασκηση).

:-(:-(

 

Για να έχει το πολύ 2 λύσεις (δηλαδή να έχει 0, 1 ή 2 λύσεις) πρέπει να αποδειχθεί ότι δεν έχει 3η λύση (έλλειψη 3ου στοιχείου στο σύνολο λύσεων σημαίνει έλλειψη και 4ου, 5ουκ, κλπ). Αυτό εννοεί ο topic starter, άρα αυτή είναι η λύση του προβλήματός του λοιπόν.

Αλλου αυτα!

Ο topic starter μαθε οτι δεν μιλησε ποτε για 3η λυση, 2η λυση κλπ. Δεν μιλησε ποτε για τακτικα αριθμητικους αριθμους αλλα μονο για απολυτους αριθμους ριζων εξισωσης!

Αναφερθηκε με σαφηνεια σε 3 ριζες και 2 το πολυ ριζες!

Και ΟΧΙ για 3η ριζα και 2η ριζα κλπ.

;)

 

Αλλα ησουν ΕΣΥ που το εκανες και παραποιησες τα λογια του προς επιτευξιν του σκοπου σου να μην φανεις οτι εκανες λαθος(λαθη) δηλαδη.

[teo64x]

Αφού ο κροκόδειλος συο εξηγεί ότι αυτό που λες δεν ισχύει. Μπορεί να έχει 4 ακριβώς λύσεις αλλά να μην έχει 3 ακριβώς.

 

Δεν είπε κανείς τη λέξη ακριβώς. Γι' αυτό θεωρούμε το αυτονόητο.

 

Αν θες να παίξουμε παιχνίδι τρέλας, μπορώ να πιαστώ από το ότι δεν είπες "ο χρήστης με username Krokodeilos" και να σου λέω "μα δε μπήκε κανένας κροκόδειλος στο insomnia! Άσε που φοβάμαι τους κροκοδείλους, μπρρρ".

 

 

Αλλου αυτα!

Ο topic starter μαθε οτι δεν μιλησε ποτε για 3η λυση, 2η λυση κλπ. Δεν μιλησε ποτε για τακτικα αριθμητικους αριθμους αλλα μονο για απολυτους αριθμους ριζων εξισωσης!

Αναφερθηκε με σαφηνεια σε 3 ριζες και 2 το πολυ ριζες!

Και ΟΧΙ για 3η ριζα και 2η ριζα κλπ.

;)

 

Αλλα ησουν ΕΣΥ που το εκανες και παραποιησες τα λογια του προς επιτευξιν του σκοπου σου να μην φανεις οτι εκανες λαθος(λαθη) δηλαδη.

 

"Αλλού αυτά"; "Παραποιω για να μη φανεί ότι έκανα λάθος"; Ας σου απαντήσω:

 

Μπούρδα.

 

Εγώ εξηγώ τα λόγια του topic starter, δεν τα παραποιώ. Τα λόγια είναι εκεί για όποιον θέλει. Αν θες να καταλάβεις καταλαβαίνεις, αν δε θες συνεχίζεις άσκοπα το thread.

[Krokodilos]

Αφού ο κροκόδειλος συο εξηγεί ότι αυτό που λες δεν ισχύει. Μπορεί να έχει 4 ακριβώς λύσεις αλλά να μην έχει 3 ακριβώς.

Ε ναι αλλα ρε φιλε αμα το παραδεχτει αυτο θα παραδεχτει οτι εκανε λαθος και αυτο δεν πρεπει να γινει.

Οποτε θολωνουμε τα νερα σκαρφιζομενοι 1002 πραγματα οπως οτι η ασκηση δεν ζητουσε αυτο, δεν μπορει να ζητουσε αυτο, οτι δεν πρεπει να γραφουμε αναλυτικα και με παραγωγικη διαδικασια καποια πραγματα γιατι ετσι πνιγομαστε σε μια κουταλια νερο κλπ.....

[teo64x]

Άστο, φίλε... Άστο.

[cosmosfera]

Οι επιλογες που εχεις ειναι οι εξης,η βρισκεις οτι η εξισωση εχει ακριβως δυο ριζες και το αναγεις σε πολύ δυο ριζες αναλογα με το πεδιο αρισμου της η πας με επαγωγικη μεθοδο,(αν ισχυει για n τοτε δεν ισχυει για n+1) για n>=2, οπου το n αναφερεται σε αριθμο ριζων.