Μαθηματικά - Πίνακες

[we_will_rise]

Καλησπέρα παιδιά,

 

έχω να υλοποιήσω ένα project και θα ήθελα την βοήθειά σας. Θα μπορούσε κάποιος να μου πει πως μετατρέπουμε έναν πίνακα σε NxN σε μοναδιαίο με εκτέλεση γραμμοπράξεων ;; Αν είναι εύκολο, και κανένα παράδειγμα...

[ata1983]

Ψάξε για μέθοδο Gauss για επίλυση γραμμικών συστημάτων, αυτό που θέλεις είναι στην ουσία

[Krokodilos]

Καλησπέρα παιδιά,

 

έχω να υλοποιήσω ένα project και θα ήθελα την βοήθειά σας. Θα μπορούσε κάποιος να μου πει πως μετατρέπουμε έναν πίνακα σε NxN σε μοναδιαίο με εκτέλεση γραμμοπράξεων ;; Αν είναι εύκολο, και κανένα παράδειγμα...

Μηπως εννοεις μετατροπη σε ανηγμενο κλιμακωτο και οχι σε μοναδιαιο?

Επειδη υπαρχουν περιπτωσεις νχν πινακων οπου δεν μετατρεπονται σε μοναδιαιο πινακα.

Σε ανηγμενο κλιμακωτο βεβαια καθε πινακας νχν μπορει να μετατραπει.

 

Αν λοιπον εννοεις μετατροπη σε ανηγμενο κλιμακωτο τοτε:

 

•Εστω ν χ ν πινακας Α.

 

•Ορισμος του ανηγμενου κλιμακωτου πινακα ν χ ν:

Ο ν χ ν πινακας Α ειναι ανηγμενος κλιμακωτος οταν και μονο οταν ισχυουν και τα 3 παρακατω:

α)Αν υπαρχουν μηδενικες γραμμες, τοτε αυτες βρισκονται μετα απο τις μη-μηδενικες.

β)Το 1ο απο αριστερα μη-μηδενικο στοιχειο καθε μη-μηδενικης γραμμης, ειναι το 1 και βρισκεται δεξιοτερα του αντιστοιχου 1 της προηγουμενης γραμμης.

γ)Το 1ο απο αριστερα 1 καθε μη-μηδενικης γραμμης, ειναι και το μονο μη-μηδενικο στοιχειο της στηλης στην οποια ανηκει.

 

•Ορισμος των γραμμοπραξεων:

1η: Μπορουμε να εναλλαξουμε τα στοιχεια 2 γραμμων.

2η: Μπορουμε να πολλαπλασιασουμε ολα τα στοιχεια μια γραμμης με ενα μη-μηδενικο αριθμο.

3η: Μπορουμε να προσθεσουμε τα στοιχεια μιας γραμμης πολλαπλασιασμενα με εναν αριθμο, στα αντιστοιχα στοιχεια μιας αλλης γραμμης.

 

•Αλγοριθμος μετατροπης ενος πινακα Α ν χ ν με γραμμοπραξεις σε εναν αλλο πινακα ν χ ν που να ειναι ανηγμενος κλιμακωτος(ο οποιος ειναι και μοναδικος του Α):

Βημα-1:Βρισκουμε την πρωτη στηλη του πινακα που περιεχει μη-μηδενικο στοιχειο.

Βημα-2:Μεταφερουμε στον πινακα συμφωνα με την 1η γραμμοπραξη, πρωτη τη γραμμη που περιεχει το πρωτο μη-μηδενικο στοιχειο της στηλης.

Βημα-3:Κανουμε το μη-μηδενικο στοιχειο της στηλης μοναδα, συμφωνα με την 2η γραμμοπραξη.

Βημα-4:Κανουμε ολα τα στοιχεια της στηλης που ειναι κατω απο την προηγουμενη μοναδα μηδενικα συμφωνα με την 3η γραμμοπραξη.

Βημα-5:Αγνοουμε την πρωτη γραμμη του πινακα και επαναλαμβανουμε τα βηματα 1 εως 4 για ολες τις επομενες γραμμες του πινακα. Αν οι γραμμες του πινακα που απεμειναν ειναι μηδενικες τοτε παμε στο βημα 6.

Βημα-6:Απο γραμμη σε γραμμη χρησιμοποιωντας το πρωτο απο αριστερα 1 καθε γραμμης και τη γραμμοπραξη 3 κανουμε ολα τα στοιχεια της στηλης που βρισκεται η μοναδα αυτη μηδενικα.

 

Παραδειγμα:

>
[  4  -1  2  16 ]
[  2  -4  4  4  ]
[  1  2  -2  8  ]
Β-1:(Η πρωτη στηλη περιεχει μη-μηδενικο στοιχειο)----->

[  4  -1  2  16 ]
[  2  -4  4  4  ]
[  1  2  -2  8  ]
Β-2:(Μεταφερουμε την πρωτη γραμμη στη θεση της πρωτης γραμμης(ουσιαστικα δεν κανουμε τιποτα))----->

[  4  -1  2  16 ]
[  2  -4  4  4  ]
[  1  2  -2  8  ]
Β-3:(Κανουμε μοναδα το 4 πολλαπλασιαζοντας ολα τα στοιχεια της πρωτης γραμμης με 1/4)----->

[  1  -1/4  2/4  4  ]
[  2  -4     4   4  ]
[  1   2    -2   8  ]
Β-4:(Κανουμε μοναδα το 2(στοιχειο 2,1) και το 1(στοιχειο 3,1), πολλαπλασιαζοντας με -2 και -1 αντιστοιχα την πρωτη γραμμη και προσθετοντας στην 2η και 3η γραμμη αντιστοιχα)----->

[  1  -1/4   2/4   4  ]
[  0  -7/2   3    -4  ]
[  0   9/4  -5/2   4  ]
Β-5:(2η γραμμη επι -2/7)
Β-6:
.......κλπ.....
.......κλπ.....
ωστε καταληγουμε:
[  1  1  0  5    ]
[  0  1  0  -1   ]
[  0  0  1  -5/2 ]

[we_will_rise]

Μηπως εννοεις μετατροπη σε ανηγμενο κλιμακωτο και οχι σε μοναδιαιο?

Επειδη υπαρχουν περιπτωσεις νχν πινακων οπου δεν μετατρεπονται σε μοναδιαιο πινακα.

Σε ανηγμενο κλιμακωτο βεβαια καθε πινακας νχν μπορει να μετατραπει.

 

Αν λοιπον εννοεις μετατροπη σε ανηγμενο κλιμακωτο τοτε:

 

•Εστω ν χ ν πινακας Α.

 

•Ορισμος του ανηγμενου κλιμακωτου πινακα ν χ ν:

Ο ν χ ν πινακας Α ειναι ανηγμενος κλιμακωτος οταν και μονο οταν ισχυουν και τα 3 παρακατω:

α)Αν υπαρχουν μηδενικες γραμμες, τοτε αυτες βρισκονται μετα απο τις μη-μηδενικες.

β)Το 1ο απο αριστερα μη-μηδενικο στοιχειο καθε μη-μηδενικης γραμμης, ειναι το 1 και βρισκεται δεξιοτερα του αντιστοιχου 1 της προηγουμενης γραμμης.

γ)Το 1ο απο αριστερα 1 καθε μη-μηδενικης γραμμης, ειναι και το μονο μη-μηδενικο στοιχειο της στηλης στην οποια ανηκει.

 

•Ορισμος των γραμμοπραξεων:

1η: Μπορουμε να εναλλαξουμε τα στοιχεια 2 γραμμων.

2η: Μπορουμε να πολλαπλασιασουμε ολα τα στοιχεια μια γραμμης με ενα μη-μηδενικο αριθμο.

3η: Μπορουμε να προσθεσουμε τα στοιχεια μιας γραμμης πολλαπλασιασμενα με εναν αριθμο, στα αντιστοιχα στοιχεια μιας αλλης γραμμης.

 

•Αλγοριθμος μετατροπης ενος πινακα Α ν χ ν με γραμμοπραξεις σε εναν αλλο πινακα ν χ ν που να ειναι ανηγμενος κλιμακωτος(ο οποιος ειναι και μοναδικος του Α):

Βημα-1:Βρισκουμε την πρωτη στηλη του πινακα που περιεχει μη-μηδενικο στοιχειο.

Βημα-2:Μεταφερουμε στον πινακα συμφωνα με την 1η γραμμοπραξη, πρωτη τη γραμμη που περιεχει το πρωτο μη-μηδενικο στοιχειο της στηλης.

Βημα-3:Κανουμε το μη-μηδενικο στοιχειο της στηλης μοναδα, συμφωνα με την 2η γραμμοπραξη.

Βημα-4:Κανουμε ολα τα στοιχεια της στηλης που ειναι κατω απο την προηγουμενη μοναδα μηδενικα συμφωνα με την 3η γραμμοπραξη.

Βημα-5:Αγνοουμε την πρωτη γραμμη του πινακα και επαναλαμβανουμε τα βηματα 1 εως 4 για ολες τις επομενες γραμμες του πινακα. Αν οι γραμμες του πινακα που απεμειναν ειναι μηδενικες τοτε παμε στο βημα 6.

Βημα-6:Απο γραμμη σε γραμμη χρησιμοποιωντας το πρωτο απο αριστερα 1 καθε γραμμης και τη γραμμοπραξη 3 κανουμε ολα τα στοιχεια της στηλης που βρισκεται η μοναδα αυτη μηδενικα.

 

Παραδειγμα:

>
[  4  -1  2  16 ]
[  2  -4  4  4  ]
[  1  2  -2  8  ]
Β-1:(Η πρωτη στηλη περιεχει μη-μηδενικο στοιχειο)----->

[  4  -1  2  16 ]
[  2  -4  4  4  ]
[  1  2  -2  8  ]
Β-2:(Μεταφερουμε την πρωτη γραμμη στη θεση της πρωτης γραμμης(ουσιαστικα δεν κανουμε τιποτα))----->

[  4  -1  2  16 ]
[  2  -4  4  4  ]
[  1  2  -2  8  ]
Β-3:(Κανουμε μοναδα το 4 πολλαπλασιαζοντας ολα τα στοιχεια της πρωτης γραμμης με 1/4)----->

[  1  -1/4  2/4  4  ]
[  2  -4     4   4  ]
[  1   2    -2   8  ]
Β-4:(Κανουμε μοναδα το 2(στοιχειο 2,1) και το 1(στοιχειο 3,1), πολλαπλασιαζοντας με -2 και -1 αντιστοιχα την πρωτη γραμμη και προσθετοντας στην 2η και 3η γραμμη αντιστοιχα)----->

[  1  -1/4   2/4   4  ]
[  0  -7/2   3    -4  ]
[  0   9/4  -5/2   4  ]
Β-5:(2η γραμμη επι -2/7)
Β-6:
.......κλπ.....
.......κλπ.....
ωστε καταληγουμε:
[  1  1  0  5    ]
[  0  1  0  -1   ]
[  0  0  1  -5/2 ]

 

Ευχαριστώ πολύ φίλε, αλλά δεν εννοώ αυτό.. Εννοώ μετατροπή σε μοναδιαίο (οι διαγώνιος άσοι και τα άλλα 0 )

[Krokodilos]

Ευχαριστώ πολύ φίλε, αλλά δεν εννοώ αυτό.. Εννοώ μετατροπή σε μοναδιαίο (οι διαγώνιος άσοι και τα άλλα 0 )

ΟΥΦ!

 

Ειπα οτι:

Υπαρχουν περιπτωσεις ν χ ν πινακων οπου δεν μετατρεπονται σε μοναδιαιο πινακα.

 

Επισης λεω τωρα οτι:

Οταν ενας ν χ ν πινακας μετατρεπεται σε μοναδιαιο πινακα, τοτε ο ανηγμενος κλιμακωτος που προκυπτει απο την παραπανω διαδικασια που εδωσα ειναι ο μοναδιαιος που ζητας.

 

Οποτε η παραπανω διαδικασια αν εφαρμοστει σε εναν ν χ ν πινακα σου δινει τον μοναδιαιο που ζητας(αν βεβαια δινει πραγματι μοναδιαιο και δεν υπαρχουν μηδενικες γραμμες).

[Pablo_Hasan]

ουσιαστικά ζητάς να βρείς τον αντίστροφο πινακα, ρίξε μια ματια εδώ:

http://www.purplemath.com/modules/mtrxinvr.htm