χρήση άλγεβρας Boole

[voulaji]

Θέλω να αποδείξω την πιο κάτω σχέση:

F (Α, Β, C, D) = A B C + A B D + B C + C D

ισχύει F'(Α, Β, C, D) = Π (3, 6, 7, 11, 13, 14, 15).

Ρωτώ το εξής, πρέπει πρώτα να κάνω το συμπλήρωμα και μέτα να βρω το γινόμενο μεγιστόρων?

Εάν ναι, τί στο καλό κάνω λάθος και δεν μου βγαίνει?

Μήπως δεν υπολογίζω σωστά το συμπλήρωμα?

[Uagm]

Ισχύει και αποδεικνύεται πολύ εύκολα ότι αν G (= F ' εν προκειμένω) =π.χ. Π (3,6,7,11,13,14,15) = Σ(0,1,2,4,5,8,9,10,12) ,δηλαδή των "υπολοίπων" όρων εν γένει. Συνεπώς αν η F ' γίνεται 1 στο Σ(0,1,2,4,5,8,9,10,12), η F γίνεται 1 στο Σ(3,6,7,11,13,14,15). Αρκεί δηλαδή να αποδείξεις το τελευταίο.

 

F(A,B,C,D) = ABC + ABD + BC + CD = ABCD + ABCD' + ABDC + ABDC' + BCD + BCD' + CDA + CDA' =

ABCD + ABCD' + ABDC + ABDC' + BCDA + BCDA' + BCD'A + BCD'A' + CDAB + CDAB' + CDA'B + CDA'B' =

 

ABCD + ABCD' + ABC'D + A'BCD + ABCD' + A'BCD' + AB'CD + A'BCD + A'B'CD =

 

Σ(15,14,13,7,6,11,3).

 

Θυμήσου γενικά ότι η F μηδενίζεται στο "γινόμενο" μεγιστόρων και γίνεται 1 στο "άθροισμα" των ίδιων ελαχιστόρων.

 

Αν δηλαδή F(A,B,C) = Σ(0,1,2,3) τότε F = Π(4,5,6,7)

επομένως F' = Σ(4,5,6,7) = Π(0,1,2,3).

[voulaji]

Uagm πρέπει να σε ευχαριστήσω, κατάλαβα απολύτως την συλλογιστική.

Ωστόσο έχω και μια άλλη άσκηση, στην οποία όμως δε μπορώ να σκεφτώ κάτι. Μου φαίνεται αρκετά δύσκολη.

Έχω λοιπόν το εξής:

Δίνεται η λογική συνάρτηση F (Α, Β, C, D, E) = Σ (6, 7, 10, 11, 22, 23, 26, 27), η οποία έχει τους εξής αδιάφορους όρους: 0, 3, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 18, 21, 24, 25, 28, 29, 30, 31. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με δύο πύλες: μία πύλη ΚΑΙ (AND) δύο εισόδων και μία πύλη Η (OR) δύο εισόδων.

[jtsc21]

κανεις ενα karnaugh-map απλοποιεις την συναρτηση και λογικα θα σου βγει ενα

AND-OR κυκλωμα.παντως δεν γινεται να υλοποιειται "μονο" με AND-OR γιατι μπορει να γινει και με NAND-NAND η NOR-NOR...

[voulaji]

Μπορείς να με βοηθήσεις λίγο περισσότερο?

Το παλεύω πολύ αλλά δε βγάζω το σωστό αποτέλεσμα.

Μάλλον κάνω κάτι λάθος.

[Uagm]

Είναι πραγματικά απλό, όπως σου λέει ο/η jtsc21. Καταστρώνεις ένα χάρτη Karnaugh για τους 32 όρους, τοποθετώντας μαζί τους αδιάφορους, προκειμένου να απλοποιηθούν. Από την απλοποιημένη μορφή της F, είναι φανερό ότι μπορεί να παρασταθεί και μόνο με τις πύλες που δίνονται. Δες την εικόνα για τη λύση.

 

[voulaji]

Προσπαθώ να καταλάβω την συλλογιστικής σας (uagm και jtsc21) αλλά δεν μπορώ.

Μέχρι το να κάνω karnaugh-map είμαι ΟΚ. Κατόπιν όμως πώς προχωράω;

Επιπλέον, η εικόνα για τη λύση, πώς ερμηνεύεται;

[Uagm]

Τί δεν κατανοείς από τη συλλογιστική; Ότι πρέπει να ετοιμάσεις karnaugh map, αλλά όχι το πώς και το γιατί μάλλον.

 

Οι αδιάφοροι όροι σου δίνονται για την απλοποίηση και μπορούν να θεωρηθούν είτε ως 0, είτε ως 1, το οποίο είναι πιο χρήσιμο εδώ. Γι' αυτό στη λύση της εικόνας γράφω F = Σ(6,7,10,11,22,23,26,27) + d(0, 3, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 18, 21, 24, 25, 28, 29, 30, 31). Υποθέτεις ότι η F γίνεται 1 και στους όρους 0,3,8,9... ώστε να την απλοποιήσεις ευκολότερα.

 

Το υπόλοιπο του σχήματος είναι ένας χάρτης 32 όρων, ως δύο χάρτες 4 μεταβλητών, με την επιπλέον προϋπόθεση ότι η πέμπτη μεταβλητή θεωρείται 0 στον "πρώτο" χάρτη (επομένως περιλαμβάνει τους όρους με A') και 1 στο "δεύτερο" (δηλαδή τους όρους με Α). Οι αδιάφοροι όροι σημειώνονται στο χάρτη με d (πιθανότατα να τους έχεις δει και με Χ) και μπορείς να τους συμπεριλάβεις στις μονάδες, κατά την απλοποίηση.

 

Κατά την απλοποίηση λοιπόν, ομαδοποιείς τους όρους

 

6,7,14,15

8,9,10,11,12,13,14,15

 

από τον πρώτο χάρτη (προκύπτει το CDA' + BA') και τους

 

22,23,30,31

24,25,26,27,28,29,30,31

 

από το δεύτερο (προκύπτει το CDA + BA).

 

Τελικά η F γράφεται F = CDA' + BA' + CDA + BA = CD (A + A') + B (A + A') = CD + B.