Πρόβλημα αριθμητικής ανάλυσης

[DarkOrion]

Θα ήθελα την βοήθεια σε ένα θέμα αριθμητικής ανάλυσης που αντιμετωπίζω.

Σκοπός είναι να λυθεί ένα σύστημα 2 διαφορικών εξισώσεων, 2ου βαθμού η κάθε μία (δηλαδή σε κάθε μία διαφορική έχουμε την εξίσωση που ψάχνουμε, καθώς και την πρώτη και δεύτερη παράγωγό της.)

Έστω οτι οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι f1 και f2

 

Η πρώτη διαφορική εξίσωση, έχει τις συναρτήσεις f1,f2,f1',f2',f1''

H δεύτερη διαφορική εξίσωση έχει τις συναρτήσεις f1,f2,f1' (f2')^3,f2''

 

Δηλαδή στην δεύτερη διαφορική εξίσωση η παράγωγος της μίας είναι υψωμένη στην τρίτη δύναμη (όχι κατ' ανάγκη, μπορεί να είναι και στην 4η,5η,6η κλπ, δεν έχει σημασία.) Αυτό δημιουργεί μη γραμμικότητα.

 

Ένας τρόπος που σκέφτηκα είναι να χρησιμοποιήσω μέθοδο πεπερασμένων διαφορών και τον αλγόριθμο για τα τριδιαγώνια συστήματα, να λύσω την πρώτη ως προς f2, θεωρώντας αρχικές τιμές της f1, και μετά τα αποτελέσματα της f2, να τα γυρίσω στην δεύτερη την οποία θα λύσω ως προς f1, αποφεύγοντας έτσι την μη γραμμικότητα της εξίσωσης.

 

Όλο αυτό κατόπιν να το κάνω επαναληπτικά, μέχρι η μέθοδοδς να συγλίνει. Το θέμα είναι οτι η δεύετερη εξίσωση που είναι μη γραμμική δεν συγκλίνει, με αποτέλεσμα να μην συγκλίνει κάθόλου ο αλγόριθμος.

Οι οριακές συνθήκες είναι κυκλικές, δηλαδή ό,τι ισχύει για το τελευταίο σημείο (n) της κάθε εξίσωσης ισχύει και για το πρώτο. Με άλλα λόγια f1(n)=f1(1), f2(n)=f2(1).

Μήπως κάνω κάποιο λάθος στην όλη λογική? Μήπως το τέχνασμα που σκέφτηκα να εφαρμόσω είναι η αιτία της αστάθειας που οδηγεί σε λάθος αποτελέσματα?

 

Οποιαδήποτε πρόταση είναι ευπρόσδεκτη, και συγγνώμη αν σας κούρασα με το Post μου...