0.99999.... = 1

[Ather]

@bilco Για τον 1,000...1 τι θα πεις, ότι έχει δεκαδικά ψηφία ίσα με 0 στις θέσεις n=1,2,... και στη θέση n=άπειρο+1 έχει το 1;

 

Θα πω απλά ότι 1,000...1 είναι ίσο με 2-Σ9/10^n

Για να κάνω και μία δοκιμή.

2-9/10 = 1,1

2-9/10-9/100=1,01

2-9/10-9/100-9/1000=1,001

άρα το ...1 βρίσκεται στη ν-οστή θέση του δεκαδικού. Μία χαρά μου φαίνεται ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός.

 

...Για βρες μου έναν αριθμό μεγαλύτερο του 0,999... και μικρότερο του 1 (πως μπορεί να γίνει αυτό αφού αφού 0,999...=1).

Μα φυσικά εγώ μίλησα για αριθμό της μορφής 0,999... με συγκεκριμένο πλήθος ψηφίων (δηλαδή το πλήθος είναι πραγματικός αριθμός και όχι το άπειρο). Έτσι αρχίζει και η απόδειξη του ορίου σχετικά με τη χρήση δ,ε. Αφού ισχύει ότι για οποιονδήποτε αριθμό μπορώ να παρεμβάλω άλλον ένα ώστε η διαφορά πχ 1-0,999(ν) να τείνει στο μηδέν απεριόριστα οπότε 0,9... = 1. Όταν το πλήθος γίνει άπειρο τότε δεν υπάρχει κάποιος αριθμός ανάμεσα αφού έχουν ταυτιστεί πλέον οι αριθμοί.

 

Τώρα για το αν 0,999.... είναι αριστερό όριο ίσως να μην έχει αυστηρά μαθηματική έννοια καθώς 0,999...=1=0,000...1 άρα θα μπορούσα να πω ότι το 1,0001 είναι αριστερό . Πιο πολύ έχει να κάνει με τη λογική και πως αντιλαμβανόμαστε κάτι προτού τα ψηφία φτάσουν στο άπειρο και οι ποσότητες γίνουν ίσες.

[bilco]

Το θέμα είναι ότι αφού η ακολουθία 0.9, 0.99, 0.999, ... συγκλίνει στο 1 έχουμε τελειώσει με το πρόβλημα. Δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε τη συνέχεια.

[dthemora]

]nick[ το λάθος σου βρίσκετε στο ότι ξεκινάς με δεδομένο ότι χ=0,99999...

Όταν καταλήγεις στο αποτέλεσμα χ=1 μετά απο όλες αυτές τις αλχημείες,καταλήγεις σ'αυτό που λένε οι μαθηματικοί άτοπο!

 

Δηλαδή μου λες οτι 0.9999...=1, όμως με παρόμοιες μεθόδους είχα καταλήξει κάποτε ότι 0=1,ισχύει δηλαδή κι αυτό?

Δεν είναι το ίδιο. Εδώ δεν υπάρχουν αλχημείες όπως στο 0=1 που απλώς έχει πολύ καλά κρυμμένα λάθη. Εδώ είναι απλώς ο ορισμός του ορίου το οποίο είναι μια παραδοχή. Δε μπορείς να αποδείξεις ότι lim(x->1)[x] ισον x αλλά αποδέχεσαι ότι ισχύει, το φαντάζεσαι αν προτιμάς. Αλλά αν είναι να το πάμε τόσο μακριά, και ο αριθμός "1" και όλοι οι αριθμοί είναι μια παραδοχή. Δε μπορείς να αποδείξεις ότι ο αριθμός 1 είναι 1, απλώς το έχεις αποδεχτεί. Γενικά έχουν γίνει πολλές παραδοχές στα μαθηματικά. Δε μπορείς να αποδείξεις ότι 0!=1(εννοώ πως το 0!=1 δε στηρίζεται στον ορισμό του παραγοντικού αλλά σε μια αυθαίρετη εξήγηση), απλώς το έχεις αποδεχτεί.

[Ather]

0!

Δεν είμαι σίγουρος, πρέπει να είναι παραδοχή που προέρχεται από τη σχέση

συνδυασμών

(n) = n!/(k!*(n-k)!)

(k)

 

Αν θέσουμε k=n τότε

(n) = n!/(n!*(n-n)!) = 1/0!

(k)

 

Αλλά από τη λογική ξέρουμε πως

 

(n) = 1 άρα από το παραπάνω 0!=1

(n)

 

Κάτι αντίστοιχο είναι και το x^0=1 (x διαφορετικό του 0)

επειδή x^n/x^n = x(n-n) = x^0 = 1.

off topic βέβαια

[dthemora]

0!

Δεν είμαι σίγουρος, πρέπει να είναι παραδοχή που προέρχεται από τη σχέση

συνδυασμών

(n) = n!/(k!*(n-k)!)

(k)

 

Αν θέσουμε k=n τότε

(n) = n!/(n!*(n-n)!) = 1/0!

(k)

 

Αλλά από τη λογική ξέρουμε πως

 

(n) = 1 άρα από το παραπάνω 0!=1

(n)

 

Κάτι αντίστοιχο είναι και το x^0=1 (x διαφορετικό του 0)

επειδή x^n/x^n = x(n-n) = x^0 = 1.

off topic βέβαια

Αυτό λέω, στηρίζεται σε εξήγηση, όχι απόδειξη.

Ναι, είμαστε τελείως off topic αλλά και το ίδιο το topic νομίζω πως κουράστηκε λιγάκι.

[-nick-]

]nick[ το λάθος σου βρίσκετε στο ότι ξεκινάς με δεδομένο ότι χ=0,99999...

Όταν καταλήγεις στο αποτέλεσμα χ=1 μετά απο όλες αυτές τις αλχημείες,καταλήγεις σ'αυτό που λένε οι μαθηματικοί άτοπο!

 

Δηλαδή μου λες οτι 0.9999...=1, όμως με παρόμοιες μεθόδους είχα καταλήξει κάποτε ότι 0=1,ισχύει δηλαδή κι αυτό?

 

Για να καταλήξεις στο 0 =1 είχες κάνει κάτι που δεν επιτρέπεται (π.χ διαίρεση και των 2 μελών με αριθμό που δεν ξέρεις αν είναι μηδεν η όχι)

 

Διαβασε κ το wiki ...

[desolatorXT]

nick[;1692350']

 

1 = 3/3 = 3 * 1/3 = 3 * 0.333333.... = 0.999999....

 

 

Απο το τονισμένο σημείο και πέρα δεν μπορείς να προχωρήσεις γιατί πολύ απλά δεν έχεις ολοκληρώσει την εκτέλεση της πράξης 1/3.

[-nick-]

μα 1/3 = 0.33333... (περιοδικος 0.333)

[desolatorXT]

nick[;1693460'']μα 1/3 = 0.33333... (περιοδικος 0.333)

 

 

Εσύ λές ότι το 1/3 είναι ίσο με το 0.3333.... το οποίο δεν ισχύει.

 

Στηρίζεσε δηλαδή σε κάτι που δεν ισχύει για να αποδείξεις κάτι, άρα είσαι λάθος.

[dthemora]

Απο το τονισμένο σημείο και πέρα δεν μπορείς να προχωρήσεις γιατί πολύ απλά δεν έχεις ολοκληρώσει την εκτέλεση της πράξης 1/3.

 

Εσύ λές ότι το 1/3 είναι ίσο με έναν αριθμό, (το 0.3333) το οποίο δεν ισχύει.

Οχι πάλι από την αρχή!:|

Το 1/3 δεν είναι ίσο με 0,3333 αλλά με 0.3333... που σημαίνει πως μετά την υποδιαστολή ακολουθεί άπειρος αριθμός ψηφίων.

[desolatorXT]

Οχι πάλι από την αρχή!:|

Το 1/3 δεν είναι ίσο με 0,3333 αλλά με 0.3333... που σημαίνει πως μετά την υποδιαστολή ακολουθεί άπειρος αριθμός ψηφίων.

 

μα δεν υπάρχει ισότητα (έβαλα τις τελείες μετά το edit)

 

όπου κ αν σταματήσεις στο 0.33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

 

εγώ πάλι θα σου πώ ότι δεν είναι ίσο.

[-nick-]

Γιατί δεν ισχυεί ? Το 1/3 με τοσο ισουτα.

Using long division, a simple division of integers like 1⁄3 becomes a recurring decimal, 0.333…, in which the digits repeat without end.

[-nick-]

μα δεν υπάρχει ισότητα (έβαλα τις τελείες μετά το edit)

 

όπου κ αν σταματήσεις στο 0.33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

 

εγώ πάλι θα σου πώ ότι δεν είναι ίσο.

 

 

Ακριβως, το ανεφερα και παραπανω, αν σταματησεις καπου δεν ειναι ισο, αν ο αριθμος των 3αριων ειναι πεπερασμενος. Ομως μιλαμε για ατελειωτα, απειρα 3... αυτο υποδηλουν οι τελειες, οτι δεν σταματας πουθενα

[desolatorXT]

nick[;1693471'']Ακριβως, το ανεφερα και παραπανω, αν σταματησεις καπου δεν ειναι ισο, αν ο αριθμος των 3αριων ειναι πεπερασμενος. Ομως μιλαμε για ατελειωτα, απειρα 3... αυτο υποδηλουν οι τελειες, οτι δεν σταματας πουθενα

 

Όταν ο αριθμός των 3 φτάσει σε αυτό το απεριόριστο σημείο που λές, τότε 0.3333333333333333333333333.... επί 3 μας κάνει 1.

[-nick-]

1 = 0.9999..

 

το καθε ψηφιο απο τα απειρα του 0.333... πολλαπλασιαζομενο με 3 μας κανει 0.999999... που ειναι το ιδιο με 1, αφου απο εκει αρχισαμε (1 = 3/3 = 3 * 1/3 κλπ ... )