Greg7vas Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 greg7vas[;1692948']Φιλοι μου τελειως διαφορετικο πραγμα το "απειρα ψηφια" με το "απειρα - 1 ψηφια".Δεν υπαρχει προσθεση η αφαιρεση με το απειρο. Μιλαμε για πληθος στοιχειων. Συμφωνω με Michael92 Τελος τα ορια δεν δινουν ποτε ισοτητα' date='αλλα προσεγγιση. Φιλε μου, αυτο που δεν υπαρχει ειναι προσθεση μεταξυ απειρου και -απειρου ! [/quote'] nick[;1692949'] Φιλε μου' date=' αυτο που δεν υπαρχει ειναι προσθεση μεταξυ απειρου και -απειρου ! Γινεται να προσθαφαιρεσης στο απειρο πραγματικο αριθμο και δεν αλλοιωνει το αποτελεσμα.. Απειρο - 1 = απειρο ! Απειρο - 1121215890 = Απειρο ! Αυτό υπάρχει σε κάθε βιβλίο μαθηματικών... Τα ορια δινουν ισοτητα αν η συναρτηση ειναι συνεχης, και προσεγγιση αν ειναι ασυνεχης.[/quote'] Οχι δε με καταλαβες. Οταν λεω οτι δεν υπαρχει προθεση η αφαιρεση με το απειρο εννοω οτι δεν εχουμε να κανουμε με κατι τετοιο στη συγκεκριμενη περιπτωση. Ο αριθμος π.χ. 1,9999 εχει 4 δεκαδικα ψηφια και ο αριθμος 1,99999 εχει 5 δεκαδικα. Δεν εγινε καποιου ειδους αφαιρεση. Δεν λεω για τον ΑΡΙΘΜΟ απειρο και τον ΑΡΙΘΜΟ απειρο-1 το οποιο πραγματι ισουτε με απειρο. Μιλαμε για ενα βαθμωτο μεγεθος, το "πληθος ψηφιων". Αλλο το πληθος ψηφιων να ειναι απειρο και αλλο απειρο-1,το οποιο δεν ξερω αν ειναι δυσκολο στη κατανοηση,αλλα ετσι ειναι. The end
Ather Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 @bilco Ωραία έχουμε τον αριθμό 1. Για οποιονδήποτε αριθμό της μορφής 0,999... μπορώ να σου βρω αριθμό μεγαλύτερο του 0,999... και μικρότερο του 1. Επίσης για αριθμό της μορφής 1,000...1 μπορώ να σου βρω αριθμό μικρότερό του και ταυτόχρονα μεγαλύτερο του 1. Άρα η απόδειξη που λες δεν είναι καν θέμα. Είναι από το στοιχειώδη ορισμό του ορίου.
-nick- Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Μέλος Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Οχι δε με καταλαβες.Οταν λεω οτι δεν υπαρχει προθεση η αφαιρεση με το απειρο εννοω οτι δεν εχουμε να κανουμε με κατι τετοιο στη συγκεκριμενη περιπτωση. Ο αριθμος π.χ. 1,9999 εχει 4 δεκαδικα ψηφια και ο αριθμος 1,99999 εχει 5 δεκαδικα. Δεν εγινε καποιου ειδους αφαιρεση. Δεν λεω για τον ΑΡΙΘΜΟ απειρο και τον ΑΡΙΘΜΟ απειρο-1 το οποιο πραγματι ισουτε με απειρο. Μιλαμε για ενα βαθμωτο μεγεθος, το "πληθος ψηφιων". Αλλο το πληθος ψηφιων να ειναι απειρο και αλλο απειρο-1,το οποιο δεν ξερω αν ειναι δυσκολο στη κατανοηση,αλλα ετσι ειναι. The end Kαταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Τι διαφορά έχει όμως αν είναι βαθμωτό μέγεθος?Που ειναι γραμμενο οτι σε ενα βαθμωτο μεγεθος εχει διαφορα αν ειναι απειρο η απειρο-1?? Στην μια περιπτωση : Πληθος ψηφιων = απειρο , στην αλλη : Πληθος ψηφιων = απειρο - 1 , παλι απειρο. Τεσπα, εχω καταληξει οτι το παραπανω ( 0.9999... = 1 ) ισχυει και υπαρχουν αρκετες διαφορετικες αποδειξεις, απο οτι το εψαξα ειναι εδραιωμενο & αποδεδειγμενο και διδασκεται και σε σχολες , καθως εχει και αρκετες εφαρμογες !!
Greg7vas Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Για να τελειωνουμε λοιπον κατα την αποψη μου το 0,99999... ειναι ΑΠΕΙΡΩΣ κοντα στο 1,αλλα δεν θα φτασει να ισουτε ποτε με αυτο. Πλησιαζει πλησιαζει συνεχως(με ταυτοχρονη αυξηση των δεκαδικων ψηφιων στο απειρο),αλλα δε το αγγιζει ΠΟΤΕ. {Παντα θα υπαρχει ενα διαστημα λ οσοδηποτε μικρο το οποιο μπορει να κοπει στα 2 (λ/2) , οποτε οσο κοντα και να φτασουμε θα υπαρχει παντα κατι "κοντυτερα"}
-nick- Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Μέλος Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 ^^ I c, αυτη ήταν και η πρωτη σκεψη μου, ομως τοτε πως το αθροισμα ορων της ακολουθιας βγαινει ισο με 1 ? ayto poy les ... Παντα θα υπαρχει ενα διαστημα λ οσοδηποτε μικρο το οποιο μπορει να κοπει στα 2. there is that infinitesimal difference! There really isn't. The rigorous way to prove that 0.99999... = 1 is to first understand how decimal expansions define a real number. One of the axioms of the real numbers is that every set X of real numbers bounded above has a least upper bound, i.e. a real number s such that: (1) for any x in X, x <= s (2) if t is any number satisfying (1) then s <= t It is easy to see that the number s is unique. Then any infinite decimal expansion a.bcd... defines a real number as follows: Consider the set of finite partial expansions {a, a.b, a.bc, a.bcd, etc.}. This set is bounded above (by a+1, for example) so it has a least upper bound. This least upper bound is the number we mean when we write the decimal expansion a.bcd... . From this it is easy to see that 0.9999... = 1. For 1 is greater than every number of the form 0.999... with a finite string of 9's. Suppose t is any number less than 1. let 1-t = epsilon. Then there exists a natural number n such that 10^-n is less than epsilon. Therefore 1-10^-n = 0.99...9 with a total of n nines is greater than t, so t is not an upper bound for the set of finite partial expansions of 0.9999... . This means that 1 is the least upper bound of this set, which proves the result. Incidentally the subject of whether 0.9999... = 1 is a recurring topic of discussion on the Usenet group sci.math, but the actual mathematicians there are in unanimous agreement that it is.
Ather Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 @Greg7vas Αυτή είναι η έννοια του ορίου. Αν μπορείς να πλησιάσεις έναν αριθμό όσο θες χωρίς περιορισμό τότε θεωρείται ότι τον φτάνεις (όταν υπάρχει βέβαια συνέχεια όπως στο δικό μας παράδειγμα). Αλλιώς ο Αχιλλέας δε θα έφτανε ποτέ τη χελώνα κατά τον Ζήνωνα!
Lucifer Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 x = 0.8888... 10x = 8.8888... 10x - 2x = 8.8888... - 0.8888... - 0.8888... 8x = 8 X = 1 για πείτε.
-nick- Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Μέλος Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 eeem , προφανες 10x - 2x = 8.8888... - 0.8888... - 0.8888... 8x = 8 - 0.888888... αφαιρεσες το 0.88888.. μια φορα.. ενω πρεπει 2 μιας και αφαιρεσες το 2χ oποτε ειναι 8χ = 7.12222222....
V for Vagelis Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 nick[;1693000']eeem ' date=' προφανες [b']10x - 2x = 8.8888... - 0.8888... - 0.8888...[/b] 8x = 8 - 0.888888... αφαιρεσες το 0.88888.. μια φορα.. ενω πρεπει 2 μιας και αφαιρεσες το 2χ oποτε ειναι 8χ = 7.12222222.... με πρόλαβες, αν και 8χ = 7,11111... όπως και 1-0,99999... = 0
ata1983 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Η αποδειξη αυτη παντως υπαρχει σε βιβλιο Γυμνασιου, δεν θυμαμαι σε πιο ακριβως αλλα ειμαι σιγουρος για αυτο. Οσο για το αν αληθευει, απλως ειναι θεμα εκτιμησης. Οταν πολλαπλασιαζουμε το 0.999..999 με το 10 μπορει να εχουμε δυο ενδεχομενα: -Να προκυψει το 9.999..99_ με την παυλα να δηλωνει οτι μετα απο ενα τεραστιο δεκαδικο μερος μετα τον πολλαπλασιασμο τα δεκαδικα ψηφια ειναι λιγοτερα κατα ενα(τα 9 τελειωσαν) οποτε το 0.999.99 θα διαφερει απο το 1 παντα κατα μια ποσοτητα 0.00000...0001 -Να δεχτουμε οτι τα 9αρια στο δεκαδικο μερος ειναι πραγματικα ανεξαντλητα οποτε η αποδειξη δειχνει σωστη. Αν μπρουμε βεβαια να κανουμε αφαιρεση δυο αριθμων με απειρα ψηφια κατα τον κλασσικο τροπο
-nick- Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Μέλος Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 -Να προκυψει το 9.999..99_ με την παυλα να δηλωνει οτι μετα απο ενα τεραστιο δεκαδικο μερος μετα τον πολλαπλασιασμο τα δεκαδικα ψηφια ειναι λιγοτερα κατα ενα(τα 9 τελειωσαν) οποτε το 0.999.99 θα διαφερει απο το 1 παντα κατα μια ποσοτητα 0.00000...0001-Να δεχτουμε οτι τα 9αρια στο δεκαδικο μερος ειναι πραγματικα ανεξαντλητα οποτε η αποδειξη δειχνει σωστη. Αν μπρουμε βεβαια να κανουμε αφαιρεση δυο αριθμων με απειρα ψηφια κατα τον κλασσικο τροπο Οντως ! Εγω θεωρω το 2ο ενδεχομενο ως το λογικα σωστο, μιας και ΔΕΝ γινεται να τελειωσουν τα 9αρια αφου ειναι απειρα.. Σε αυτο με την αφαιρεση ειχα σκαλωσει και εγω για το κατα ποσο ειναι ορισμενη αυτη η πραξη για αριθμους με απειρα δεκαδικα, αλλα πρεπει να ισχυει, ουτως η αλλως και με τους αλλους τροπους αποδειξης αποδεικνυεται . 1-0,99999... = 0 Αυτό ναι ! ομως ουχμ 8 - 0.888888.. = 7,11111... ΣΩΣΤΟΣ και σε αυτο... 7,11111... + 0.88888.. = 7.999999999.... = 8 , επαληθευεται , μπερδευτηκα εγω στην αφαιρεση !! Αντε την κανω τωρα να συνεχισω λιγο διαβαζμα αριθμητικη αναλυση κ μετα θα την πεσω
V for Vagelis Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Βέβαια όπως λέει και ο ata1983, σύμφωνα με τη δεύτερη θεωρία 8x = 7,11111....1112
bilco Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Μα αν το σκεφτείς, το 0.999... είναι απλώς ένας άλλος τρόπος γραφής για το lim(x->1)[x]. Δεν υπάρχει αν το σκεφτείς. Μόνο η απόδειξη υπάρχει. Για να ισχυριστείς ότι το 0.9999... είναι το αριστερό όριο της f(x)=x όταν x->1- πρέπει να δείξεις ότι για οποιοδήποτε x<1 και δ>0 υπάρχει ε>0 τέτοιο ώστε να ισχύει η συνεπαγωγή 1-x<δ => |x-0.9999...|<ε . Δεν νομίζω να μπορείς να το αποδείξεις χωρίς να χρησιμοποιήσεις το γεγονός ότι 0.999...=1 άρα άνθρακες ο θησαυρός...
bilco Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 @bilcoΩραία έχουμε τον αριθμό 1. Για οποιονδήποτε αριθμό της μορφής 0,999... μπορώ να σου βρω αριθμό μεγαλύτερο του 0,999... και μικρότερο του 1. Επίσης για αριθμό της μορφής 1,000...1 μπορώ να σου βρω αριθμό μικρότερό του και ταυτόχρονα μεγαλύτερο του 1. Άρα η απόδειξη που λες δεν είναι καν θέμα. Είναι από το στοιχειώδη ορισμό του ορίου. Για βρες μου έναν αριθμό μεγαλύτερο του 0,999... και μικρότερο του 1 (πως μπορεί να γίνει αυτό αφού αφού 0,999...=1). Και τι πάει να πει αριθμός της μορφής 0,999.... Ένας είναι ο αριθμός και ισούται με 1. Αν εννοείς τώρα την ακολουθία 0.9, 0.99, 0.999, ... ναι αυτή συγκλίνει στο 1 αλλά τότε ποιός ο λόγος να χρησιμοποιήσεις τη συνέχεια. Έχεις αποδείξει αυτό που θέλεις.
pappous_soulis Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 8 Ιουλίου 2007 ]nick[ το λάθος σου βρίσκετε στο ότι ξεκινάς με δεδομένο ότι χ=0,99999... Όταν καταλήγεις στο αποτέλεσμα χ=1 μετά απο όλες αυτές τις αλχημείες,καταλήγεις σ'αυτό που λένε οι μαθηματικοί άτοπο! Δηλαδή μου λες οτι 0.9999...=1, όμως με παρόμοιες μεθόδους είχα καταλήξει κάποτε ότι 0=1,ισχύει δηλαδή κι αυτό?
Προτεινόμενες αναρτήσεις
Αρχειοθετημένο
Αυτό το θέμα έχει αρχειοθετηθεί και είναι κλειστό για περαιτέρω απαντήσεις.