0.99999.... = 1

[Gary]

παρακαλείτε ο κύριος epote να λύσει τη σιωπή του :mrgreen:

[Zderg]

Τότε απο που μπάζει η απόδειξη ???

 

Είναι αυτο που ειπα και στο παραπανω μηνυμα.. Στην πραξη ισχυει αλλα οχι στην θεωρια..

 

Βασικα οι αποψεις ολων μας ειναι διαφορετικες επειδη δεν εχουμε συμφωνησει σε ενα πραγμα: 1/3=0.333333.... ;;;

 

Κατα την γνωμη μου δεν ισχυει.. Οποιοι πιστευουν οτι ισχυει αυτο τοτε μαλλον δεχονται οτι και 1=0.9999..

[-nick-]

Κοίτα, είναι εδραιωμένο μαθηματικά. Ισχύει παντού. Και σε συζητήσεις στο usenet τελικά υπήρξε ομοφωνία των μαθηματικών ότι ισχύει. Μιλάμε για άπειρα ψηφία. Το 1 ΔΕΝ ισούται με 0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999

 

ισούται όμως με 0.9999....

 

[Zderg]

Άρα δεχεσαι οτι 1/3=0.333333...

Αυτη ειναι και η διαφορα μας..

[michael92]

____Διαγραφή

[michael92]

nick[;1692350']Πριν βιαστείτε να πείτε 'όχι' διαβάστε προσεχτικά ;P και τα λινκς... στην ουσία πρόκειται για τον ίδιο αριθμό' date=' κάτι που φαίνεται ευκολότερα στην απόδειξη με την 2η μορφή της

 

 

0.9999... = 1

 

Proof

 

x = 0.9999...

10x = 9.9999...

10x - x = 9.9999... - 0.9999... **

9x = 9

X = 1

 

[/quote']

Πρώτα από όλα 0,9999 * 10 = 9,9990 και όχι 9,9999 οπότε

 

10χ = 9,9990

9χ = 9,9990 - 0,9999 --> 9χ = 8,9991 -- > χ = 0,9999

 

 

[Sellers]

Το 0 μετά την υποδιαστολή είναι σαν να μην υπάρχει.

1,20 = 1,2...

9,990 = 9,99

 

Αλλά εδώ μιλάμε για απειροστά ψηφία...

[-nick-]

Πρώτα από όλα 0,9999 * 10 = 9,9990 και όχι 9,9999 οπότε

 

10χ = 9,9990

9χ = 9,9990 - 0,9999 --> 9χ = 8,9991 -- > χ = 0,9999

 

 

 

 

Φίλε μου, δεν σου μιλαω για 0,9999 αλλα για 0,9999... ΑΠΕΙΡΑ ΨΗΦΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ. Οπότε όσα γράφεις παραπάνω είναι λάθος... Τέσπα, όλα τα στοιχεία υπάρχουν στο λινκ της wiki που παρέθεσα παραπάνω.

 

 

 

Zderg, είναι ενδιαφερον το λινκ της wiki, αν αντεχεις διαβασε το ολο

 

 

Students of mathematics often reject the equality of 0.999… and 1, for reasons ranging from their disparate appearance to deep misgivings over the limit concept and disagreements over the nature of infinitesimals. There are many common contributing factors to the confusion:

 

* Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.[1]

* Some students interpret "0.999…" (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".[2]

* Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999…" as meaning the sequence rather than its limit.[3]

* Some students regard 0.999… as having a fixed value which is less than 1 but by an infinitely small amount.

* Some students believe that the value of a convergent series is an approximation, not the actual value.

 

These ideas are mistaken in the context of the standard real numbers, although many of them are partially borne out in more sophisticated structures, either invented for their general mathematical utility or as instructive counterexamples to better understand 0.999….

 

Many of these explanations were found by professor David Tall, who has studied characteristics of teaching and cognition that lead to some of the misunderstandings he has encountered in his college students. Interviewing his students to determine why the vast majority initially rejected the equality, he found that "students continued to conceive of 0.999… as a sequence of numbers getting closer and closer to 1 and not a fixed value, because 'you havenʼt specified how many places there are' or 'it is the nearest possible decimal below 1'".[4]

 

Of the elementary proofs, multiplying 0.333… = 1⁄3 by 3 is apparently a successful strategy for convincing reluctant students that 0.999… = 1. Still, when confronted with the conflict between their belief of the first equation and their disbelief of the second, some students either begin to disbelieve the first equation or simply become frustrated.[5] Nor are more sophisticated methods foolproof: students who are fully capable of applying rigorous definitions may still fall back on intuitive images when they are surprised by a result in advanced mathematics, including 0.999…. For example, one real analysis student was able to prove that 0.333… = 1⁄3 using a supremum definition, but then insisted that 0.999… < 1 based on her earlier understanding of long division.[6] Others still are able to prove that 1⁄3 = 0.333…, but, upon being confronted by the fractional proof, insist that "logic" supersedes the mathematical calculations.

 

Joseph Mazur tells the tale of an otherwise brilliant calculus student of his who "challenged almost everything I said in class but never questioned his calculator," and who had come to believe that nine digits are all one needs to do mathematics, including calculating the square root of 23. The student remained uncomfortable with a limiting argument that 9.99… = 10, calling it a "wildly imagined infinite growing process."[7]

 

As part of Ed Dubinsky's "APOS theory" of mathematical learning, Dubinsky and his collaborators (2005) propose that students who conceive of 0.999… as a finite, indeterminate string with an infinitely small distance from 1 have "not yet constructed a complete process conception of the infinite decimal". Other students who have a complete process conception of 0.999… may not yet be able to "encapsulate" that process into an "object conception", like the object conception they have of 1, and so they view the process 0.999… and the object 1 as incompatible. Dubinsky et al. also link this mental ability of encapsulation to viewing ⅓ as a number in its own right and to dealing with the set of natural numbers as a whole.[8]

 

http://en.wikipedia.org/wiki/0.99#Different_answers_from_alternative_number_systems

 

 

Υπάρχει και η απόδειξη όπου το 0.9999.... εκφράζεται ως άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδο με λ = 1/10

 

Τέσπα όπως θα δείτε υπάρχουν αρκετές αποδείξεις με διάφορους τρόπους . Παρόλο που φαινομενικά φαίνεται παράδοξο, διαβάζοντας τα παραπάνω κάποιος μπορεί να συμπεράνει πως ισχύει.

[Pablo_Hasan]

για οποιους εχουν matlab ή καποιο αλλο μαθηματικο υπολογιστικο προγραμμα που εχει βιβλιοθηκες για περιοδικους αριθμους και απειρο, ας κανουν εναν κοπο να το ξαναυπολογισουν, ειμαι σχεδον σιγουρος οτι θα επαληθευτει...

[Zderg]

]nick[ αποκλειεται να διαβασω ολο το αρθρο στο wiki αλλα διαβασα αυτα που εκανες copy εδω..

 

Λοιπον ανηκω στην κατηγορια ανθρωπων που πιστευουν αυτο : "Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999…" as meaning the sequence rather than its limit."

 

Δεν μπορω να δεχτω οτι το 0.999999.. είναι ενας αριθμος. Είναι απλά, κατα την γνωμη μου, ενα οριο - μια προσεγγιση..

[dthemora]

Ναι, αν υπήρχε τρόπος να βάλεις όλα τα 9 που βρισκονται μετά την υποδιαστολή(είναι άπειρα, δε μπορείς, αλλά αν υπήρχε τρόπος), τότε θα ίσχυε

0.9999... = 1

Το θέμα είναι πως ποτέ δε θα είσαι σε θέση να το αποδείξεις γιατί πολύ απλά δε γνωρίζεις το άπειρο.

Οι αποδείξεις που παρέθεσες παραπάνω, χρησιμοποιούν αυτή τη παραδοχή οπότε είναι απλώς για το θεαθήναι.

 

Edit:

για οποιους εχουν matlab ή καποιο αλλο μαθηματικο υπολογιστικο προγραμμα που εχει βιβλιοθηκες για περιοδικους αριθμους και απειρο, ας κανουν εναν κοπο να το ξαναυπολογισουν, ειμαι σχεδον σιγουρος οτι θα επαληθευτει...

 

Pablo, δε θα επαληθευτεί ποτέ γιατί κανένας(ούτε η κατά τα άλλα σπουδαία MATLAB μπορεί να φτάσει το άπειρο). Ελάτε, μιλάμε για το άγνωστο σε όλους μας άπειρο!

[we_will_rise]

Ένα πράγμα μόνο πείτε μου, στις σπουδές μου πάνω στην πληροφορική (από Σεπτέμβρη με το καλό) πρόκειται να με πρείζουν κι εμένα με τέτοια πράγματα;;;

[Ather]

Για όσους είχαν πάει στην πρώτη δέσμη να θυμίσω:

lim(x->xo)[x]=x0

Επειδή το x είναι συνεχές έχουμε

lim(x->1)[x]=lim(x->1-)[x]=lim(x->1+)[x]

Δηλαδή τα πλευρικά όρια είναι ίσα. Άρα

0,99999999... = 1,00000000...1 = 1

Όποιος γνωρίζει τα στοιχειώδη για τα όρια νομίζω πως καταλαβαίνει.

[SGP]

Δεν είναι περίεργο που ισχύει, απλά είναι πάρα πολύ δύσκολο να το συλλάβει κάποιος επειδή εμπλέκεται η έννοια του απείρου.

[Dikemou]

Αυτό που λέει ο michael92. Κατά τον πολλαπλασιασμό με 10, ο ένας αριθμός θα έχει μεν άπειρα δεκαδικά ψηφία, α άλλος θα έχει "άπειρα-1". Δε μπορείς να πεις ότι η αφαίρεσή τους ισούται με 9 ακριβώς.