0.99999.... = 1

[johnnyestia]

Επειδή το απειρο σαν αριθμό δε μπορώ να το βάλω έστω ν ο αριθμος των ψηφίων του χ (το κλασματικό μέρος και με ν να τεινει στο απειρο). 10χ θα έχει ν-1 ψηφία.

 

Εκεί είναι που κάνεις το λάθος, το άπειρο δεν είναι ένας μεγάλος αριθμός για να μπορείς να ορίσεις τον προηγούμενο, είναι άπειρο σκέτο!

[capitan]

Εκεί είναι που κάνεις το λάθος, το άπειρο δεν είναι ένας μεγάλος αριθμός για να μπορείς να ορίσεις τον προηγούμενο, είναι άπειρο σκέτο!

 

δεκτό. Και πάλι όμως κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι το 0.9999... είναι απείρως κοντά στο 1 αλλά ποτέ δε συμπίπτουν. Η απόσταση τους θα είναι πάντα 0.000000...00001 με άπειρα ψηφία πάλι. Είναι το ίδιο πράγμα με την έννοια του ορίου lim που τείνει σε έναν αριθμό "όσο κοντά θέλεις" αλλά ποτέ δε θα συμπέσουν αυτά τα νούμερα. Γιατι αν χ->1 είναι ίδιο με χ=1 και φ(χ) σταθερή συνάρτηση οριζεσμένη στο (-οο, 1)u(1,+οο) τότε το lim(φ(χ)) με χ->1 δεν ορίζεται πράγμα άτοπο. Γενικά αν y,99999999... = y+1 η έννοια του ορίου δεν υπάρχει.

[johnnyestia]

δεκτό. Και πάλι όμως κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι το 0.9999... είναι απείρως κοντά στο 1 αλλά ποτέ δε συμπίπτουν

 

Αυτό είναι κάτι που είτε το δέχεσαι αξιωματικα είτε όχι. Πάνω σε αυτό συζητήσανε τα παιδιά πρίν με τους πραγματικούς και τους υπερπραγματικούς αριθμούς.

 

Στα Μαθηματικά όπως τα μαθαίνουμε στο σχολείο, δεν μπορείς να πείς ότι το 0,9999... είναι διαφορετικός αριθμός από το 1, οπότε λέμε ότι ταυτίζονται. Το συγκεκριμένο είδος ισότητας διδάσκεται πλέον στα σχολεία και μπορούμε να το λάβουμε σαν δεδομένο και όχι να το αμφισβητούμε με επιχειρρήματα απλής αριθμητικής. Αν πάλι το σχολιάσουμε με φιλοσοφομαθηματικά επιχειρρήματα, be my guest, αλλά εγώ προσωπικά δεν έχω το απαραίτητο υπόβαθρο πλέον για να συμμετάσχω σε τέτοια συζήτηση.

[FarCry]

Το συγκεκριμένο είδος ισότητας διδάσκεται πλέον στα σχολεία και μπορούμε να το λάβουμε σαν δεδομένο και όχι να το αμφισβητούμε με επιχειρρήματα απλής αριθμητικής.

 

axa! αυτό σημαίνει μάλλον ότι εγώ δε το διδάχτηκα. εντωμεταξύ η πλακα είναι ότι το είπα σε ένα 17χρόνο και πήγε και ρώτησε τον μαθηματικό του φροντιστηρίου του και είπε δε ξέρω!!!! :-D:mrgreen:

 

καλά στο πανεπιστήμιο τι μαθαίνουν????

 

άσχετος πάντως το ένα δεν αποκλείει το άλλο. η μαθηματική ανάλυση έχει και τους 2 κλάδους.

 

Mathematical analysis includes the following subfields.

 

• Real analysis, the rigorous study of derivatives and integrals of functions of real variables. This includes the study of sequences and their limits, series, and measures.
  
• Functional analysis studies spaces of functions and introduces concepts such as Banach spaces and Hilbert spaces.
  
• Harmonic analysis deals with Fourier series and their abstractions.
  
• Complex analysis, the study of functions from the complex plane to the complex plane which are complex differentiable.
  
• Differential geometry and topology, the application of calculus to abstract mathematical spaces that possess a complicated internal structure.
  
• p-adic analysis, the study of analysis within the context of p-adic numbers, which differs in some interesting and surprising ways from its real and complex counterparts.
  
• Non-standard analysis, which investigates the hyperreal numbers and their functions and gives a rigorous treatment of infinitesimals and infinitely large numbers. It is normally classed as model theory.
  
• Numerical analysis, the study of algorithms for approximating the problems of continuous mathematics.
  

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis

 

και όπως έχει αναφερθεί και πιο πριν

 

http://members.tripod.com/PhilipApps/nonstandard.html

[FarCry]

για να σας δω εδώ. καλά τι βρίσκω όμως ο άτιμος.

πω καλά τελικά τα μαθηματικά είναι οίκος ανοχής

 

 

The Löwenheim-Skolem Theorem

 

LST has bite because we believe that there are uncountably many real numbers (more than 0). Indeed, let's insist that we know it; Cantor proved it in 1873, and we don't want to open the question again. What is remarkable about LST is the assertion that even if the intended interpretation of S is a system of arithmetic about the real numbers, and even if the system is consistent and has a model that makes its theorems true, its theorems (under a different interpretation) will be true for a domain too small to contain all the real numbers

 

One reading of LST holds that it proves that the cardinality of the real numbers is the same as the cardinality of the rationals, namely, countable. (The two kinds of number could still differ in other ways, just as the naturals and rationals do despite their equal cardinality.) On this reading, the Skolem paradox would create a serious contradiction, for we have Cantor's proof, whose premises and reasoning are at least as strong as those for LST, that the set of reals has a greater cardinality than the set of rationals.

 

The good news is that this strongly paradoxical reading is optional. The bad news is that the obvious alternatives are very ugly. The most common way to avoid the strongly paradoxical reading is to insist that the real numbers have some elusive, essential property not captured by system S. This view is usually associated with a Platonism that permits its proponents to say that the real numbers have certain properties independently of what we are able to say or prove about them.

 

This means that there simply are no sets whose cardinality is absolutely uncountable. For many, this view guts set theory, arithmetic, and analysis. It is also clearly incompatible with mathematical Platonism which holds that the real numbers exist, and are really uncountable, independently of what can be proved about them

 

If Gödel's theorem showed that no formal system could fully capture the natural numbers (because of incompleteness), then LST shows that no first-order system can fully capture the real numbers (because of ambiguity).

 

http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/low-skol.htm

[fantomas3004]

Το συγκεκριμένο είδος ισότητας διδάσκεται πλέον στα σχολεία και μπορούμε να το λάβουμε σαν δεδομένο και όχι να το αμφισβητούμε με επιχειρρήματα απλής αριθμητικής.

 

Το 0,9999999999 .... δέν είναι δυνατό να θεωρηθεί αριθμός, είναι μιά ασταμάτητη ακολουθία αριθμητικών ψηφίων που προσεγγίζει την μονάδα.

Ο αριθμός έχει μιά καθορισμένη ποσότητα, η ακολουθία με τα άπειρα εννιάρια δέν έχει ποσότητα, μπορούμε να θεωρήσουμε οτι ταυτίζεται με την μονάδα μονάχα στην περίπτωση που αγγίξουμε το άπειρο.

Το άπειρο όμως όσο πολύ και άν προσεγγίζεται ΠΟΤΕ δέν αγγίζεται.

[capitan]

Το 0,9999999999 .... δέν είναι δυνατό να θεωρηθεί αριθμός, είναι μιά ασταμάτητη ακολουθία αριθμητικών ψηφίων που προσεγγίζει την μονάδα.

Ο αριθμός έχει μιά καθορισμένη ποσότητα, η ακολουθία με τα άπειρα εννιάρια δέν έχει ποσότητα, μπορούμε να θεωρήσουμε οτι ταυτίζεται με την μονάδα μονάχα στην περίπτωση που αγγίξουμε το άπειρο.

Το άπειρο όμως όσο πολύ και άν προσεγγίζεται ΠΟΤΕ δέν αγγίζεται.

 

Αυτό ακριβώς θέλω να πω.

 

Στα Μαθηματικά όπως τα μαθαίνουμε στο σχολείο, δεν μπορείς να πείς ότι το 0,9999... είναι διαφορετικός αριθμός από το 1, οπότε λέμε ότι ταυτίζονται.

 

Πότε το μάθαμε αυτό?

 

Αν δεχτείς ότι 0.999999999999999.... = 1 η έννοια του ορίου lim χάνεται. Και το lim το διδασκόμαστε στο σχολείο.

[johnnyestia]

Πότε το μάθαμε αυτό?

 

Αν δεχτείς ότι 0.999999999999999.... = 1 η έννοια του ορίου lim χάνεται. Και το lim το διδασκόμαστε στο σχολείο.

 

Ρώτα τους μαθηματικούς που δώσανε ΑΣΕΠ τον χειμώνα και έπεσε στην διδακτική τους. Ούτε εγώ το είχα κάνει παλιά αλλά πλέον το έχουν στα βιβλία τους.

 

Όσο για το δεύτερο που λές, ακριβώς επειδή δεχόμαστε την ύπαρξη του ορίου δεχόμαστε και ότι 0.9999...=1. Απλά έχεις να κάνεις με διαφορετικό τρόπο αναπαράστασης.

[Leibnitz4144]

Παιδιά δεν διάβασα όλα τα topics , αλλα το λάθος ειναι το εξής

 

Σκεφτήτε για το 0,999

Εκει που το σπάει τον αριθμό κλέβει ένα ψηφίο δηλ. δεν ισχύει έτσι π.χ. για το 0,999 διότι

 

αν

χ=0,999

10χ=9,99

10χ=9+ 0,99 Εδώ δεν μπορούμε να πούμε χ=0,99.και έτσι δεν ισχύει , φανταστείτε το και στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

[rubik]

Όσο για το δεύτερο που λές, ακριβώς επειδή δεχόμαστε την ύπαρξη του ορίου δεχόμαστε και ότι 0.9999...=1. Απλά έχεις να κάνεις με διαφορετικό τρόπο αναπαράστασης.

 

Μάλλον έχεις μπερδευτεί κάπου. Όταν λέμε limx=y δεν σημαίνει ότι x=y. Άλλο limx και άλλο x. Έτσι, το 0,999... δεν είναι ίσο με το 1. Το όριο του 0,999... είναι ίσο με το 1.

[-nick-]

Μάλλον έχεις μπερδευτεί κάπου. Όταν λέμε limx=y δεν σημαίνει ότι x=y. Άλλο limx και άλλο x. Έτσι, το 0,999... δεν είναι ίσο με το 1. Το όριο του 0,999... είναι ίσο με το 1.

 

Μα το 0,9999... είναι όριο.

[bchris]

Την πρωτη φορα που ειδα αυτο το topic το προσπερασα...

Την δευτερη λεω "Ακομα με αυτο ασχολουνται?"

 

Τωρα δεν αντεξα.

Ειναι μια κλασικη χαμομαρα, σαν τον λαγο με την χελωνα.

Με καθε δεκαδικο πλησιαζεις το 1, αλλα δεν το αγγιζεις ποτε.

Στην πραξη, ας πουμε για τον αλουμινα που μετραει το πλαισιο ισχυει.

Αλλα για τα μαθηματικα, την επιστημη της ακριβειας, το 0,999... δεν θα γινει ποτε 1.

 

Τωρα στο ηλιθιο αυτο κρατος (ΑΣΕΠ) θελουν να μας πεισουν οτι οι Τουρκοι ειναι αδερφια μας το 0,999 = 1 θα μας πειραξει?

[GIORGARAS]

δεν έχω διαβάσει όλες τις σελίδες αλλά αυτή είναι μια λύση

 

0.9999.... = 0.9 + 0.09 + 0.009+....

γεωμετρική πρόοδος άπειρων όρων με πρώτο όρο το 0.9 και λόγο 0.1

Αυτό το άθροισμα είναι ίσο με 0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9=1

άρα 0.9999.... = 1 !!!!

ισχύει μας το έχουν διδάξει και στην σχολή για πλάκα σε ένα μάθημα.

[-nick-]

Την πρωτη φορα που ειδα αυτο το topic το προσπερασα...

Την δευτερη λεω "Ακομα με αυτο ασχολουνται?"

 

Τωρα δεν αντεξα.

Ειναι μια κλασικη χαμομαρα, σαν τον λαγο με την χελωνα.

Με καθε δεκαδικο πλησιαζεις το 1, αλλα δεν το αγγιζεις ποτε.

Στην πραξη, ας πουμε για τον αλουμινα που μετραει το πλαισιο ισχυει.

Αλλα για τα μαθηματικα, την επιστημη της ακριβειας, το 0,999... δεν θα γινει ποτε 1.

 

Τωρα στο ηλιθιο αυτο κρατος (ΑΣΕΠ) θελουν να μας πεισουν οτι οι Τουρκοι ειναι αδερφια μας το 0,999 = 1 θα μας πειραξει?

 

 

Χεχέ. Δεν διδάσκεται μόνο στην ελλάδα αδερφέ.

[nikoskon]

Μπορεί κάποιος να κάνει την απόδειξη στο δυαδικό και να την ποστάρει;