0.99999.... = 1

[FarCry]

Δηλαδή το όριο του του 1/10^n όταν το n->άπειρο είναι infinitesimal αριθμός και σαν τέτοιος η ύπαρξή του αμφισβητείται. Ναι, αν είναι να μην δεχτούμε τα όρια μπορούμε να πάμε αρκετά πιο πίσω, στον 19ο αιώνα και στον Kronecker. Υπάρχει άπλετος χώρος για ενστάσεις στα όρια. Αν οι μαθηματικοί όμως είχαν δεχτεί τις απόψεις του Kronecker δεν θα είχαν προχωρήσει και πολύ απο τότε.

 

συγγνώμη αυτά τα διάβασες?

 

It is not possible to prove or disprove that infinitesimals exist, at least not in an absolute way. It depends on the model and which collection of axioms are used. We consider here systems where infinitesimals can be shown to exist

 

• In 1936 Maltsev proved the compactness theorem. This theorem is fundamental for the existence of infinitesimals as it proves that it is possible to formalise them
  

 

• In 1960, Abraham Robinson provided an answer following the first approach. The extended set is called the hyperreals and contains numbers less in absolute value than any positive real number

 

• In 1977 Edward Nelson provided an answer following the second approach. The extended axioms are IST, which stands either for Internal Set Theory or for the initials of the three extra axioms: Idealization, Standardization, Transfer. The real numbers are either standard or nonstandard. An infinitesimal is a nonstandard real number which is less, in absolute value, than any positive standard real number.
  

 

• In 2006 Karel Hrbacek developed an extension of Nelson's approach in which the real numbers are stratified in (infinitely) many levels i.e, in the coarsest level there are no infinitesimals nor unlimited numbers
  

[bilco]

Ναι αυτά...

Και έκανα και ένα edit με αναφορά στον Godel επειδή αναφέρονται διάφορα συστήματα

[FarCry]

Ναι αυτά...

Και έκανα και ένα edit με αναφορά στον Godel επειδή αναφέρονται διάφορα συστήματα

 

αν τα είχες διαβάσει τότε θα έβλεπες ότι δεν τίθεται θέμα ένστασις τον orion. απλά είναι διαφορετικά μοντέλα και αξιώματα. εξού και η non-standard analysis σε αντιδιαστολή με την κανονική ανάλυση.

 

It is not possible to prove or disprove that infinitesimals exist, at least not in an absolute way. It depends on the model and which collection of axioms are used.

 

το θεώρημα του Godel (Gödel's incompleteness theorems are two theorems stating inherent limitations of all but the most trivial formal systems for arithmetic of mathematical interest) δεν επηρεάζει στη συγκεκριμένη περίπτωση όπως αναφέρεται δεν ισχύει για real closed fields.

 

For example, there are first-order axiomatizations of Euclidean geometry and real closed fields that do not meet the hypotheses of Gödel's theorems

 

A crucially important property of the real numbers is that it is an archimedean field, meaning it has the archimedean property that for any real number, there is an integer larger than it in absolute value. An equivalent statement is that for any real number, there are integers both larger and smaller. A non-archimedean field is, of course, a field that is not archimedean, and there are real closed non-archimedean fields; for example any field of hyperreal numbers is real closed and non-archimedean.

 

εν κατακλείδι για να τελειώνουμε είναι και τα 2 σωστά. το 0.999...=1 για archimedean field ® και 0.999../=1 για field of hyperreal numbers (*R).

 

PS: για να αποσαφηνίσω μη τυχόν υπάρχουν απορίες, η αρχή του αρχιμήδη λέει:

 

In abstract algebra, the Archimedean property, named after the ancient Greek mathematician Archimedes of Syracuse, is a property held by some groups, fields, and other algebraic structures. Roughly speaking, it is the property of having no infinitely large or infinitely small elements

 

και θα μου πείτε καλά δεν έχουμε infinitely small elements also known as infinitesimal στοιχεια,

 

όμως δεν έχουμε infinitely large? έχουμε το -∞ και +∞ στους πραγματικούς.

 

καλή ερώτηση και ορίστε η απάντηση:

 

In mathematics, the affinely extended real number system is obtained from the real number system R by adding two elements: +∞ and −∞ (pronounced "plus infinity" and "minus infinity"). These new elements are not real numbers.

 

έτσι αυτά δεν υπήρχαν εξ ορισμού από τον αρχιμήδη. προστέθηκαν αργότερα.

 

The improper elements, the affine infinities +∞ and −∞, correspond to ideal points of the number line. Note that these improper elements are not real numbers, and that this system of extended real numbers is not a field

[FarCry]

Δηλαδή το όριο του του 1/10^n όταν το n->άπειρο είναι infinitesimal αριθμός και σαν τέτοιος η ύπαρξή του αμφισβητείται. Ναι, αν είναι να μην δεχτούμε τα όρια μπορούμε να πάμε αρκετά πιο πίσω, στον 19ο αιώνα και στον Kronecker. Υπάρχει άπλετος χώρος για ενστάσεις στα όρια. Αν οι μαθηματικοί όμως είχαν δεχτεί τις απόψεις του Kronecker δεν θα είχαν προχωρήσει και πολύ απο τότε.

 

When Newton and (more explicitly) Leibniz introduced differentials, they used infinitesimals and these were still regarded as useful by later mathematicians such as Euler and Cauchy. Nonetheless these concepts were from the beginning seen as suspect, notably by Berkeley, and when in the 1800s calculus was put on a firm footing through the development of the epsilon-delta definition of a limit by Cauchy, Weierstrass and others, they were largely abandoned.

 

για την ιστορία τις υπόθεσις

 

Bishop Berkeley, was an influential Irish philosopher whose primary philosophical achievement is the advancement of a theory he called "immaterialism"

 

In addition to his contributions to philosophy, Bishop Berkeley was also very influential in the development of mathematics, although in a rather indirect sense

 

In 1734 he published The Analyst, subtitled A DISCOURSE Addressed to an Infidel Mathematician

 

The Analyst represented a direct attack on the foundations and principles of calculus, and in particular the notion of fluxion or infinitesimal change which Newton and Leibniz had used to develop the calculus.

 

Berkeley regarded his criticism of calculus as part of his broader campaign against the religious implications of Newtonian mechanics as a defence of traditional Christianity against deism, which tends to distance God from His worshippers.

 

As a consequence of the resulting controversy, the foundations of calculus were rewritten in a much more formal and rigorous form using limits

 

It was not until 1966, with the publication of Abraham Robinson's book Non-standard Analysis, that the concept of the infinitesimal was made rigorous, thus giving an alternative way of overcoming the difficulties which Berkeley discovered in Newton's original approach.

[bilco]

αν τα είχες διαβάσει τότε θα έβλεπες ότι δεν τίθεται θέμα ένστασις τον orion. απλά είναι διαφορετικά μοντέλα και αξιώματα. εξού και η non-standard analysis σε αντιδιαστολή με την κανονική ανάλυση.

Πως να τα διαβάσω πριν τα γράψεις. Δώσε τουλάχιστον τις πηγές. Και τελικά γιατί έγινε αυτή η αναφορά στους hyperreal αφού είναι σαφές ότι μιλάμε για τον συνήθη χώρο των πραγματικών.

[FarCry]

Πως να τα διαβάσω πριν τα γράψεις. Δώσε τουλάχιστον τις πηγές. Και τελικά γιατί έγινε αυτή η αναφορά στους hyperreal αφού είναι σαφές ότι μιλάμε για τον συνήθη χώρο των πραγματικών.

 

 

όλα είναι από το wikipedia.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Bishop_Berkeley

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_closed_field

http://en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_calculus

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis

http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

http://en.wikipedia.org/wiki/How_Archimedes_used_infinitesimals

http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_property

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

http://en.wikipedia.org/wiki/Affinely_extended_real_number_system

 

1) δε νομίζω ότι έγινε explicit αναφορά στο R

2) to 0.999... όπως αναφέρθηκε και προηγούμενος είναι

 

The number 0.999... is not a Real Number. If you want to work with the Hyperreal numbers then it is a nonstandard number with real part 1. Yes, this number 0.999... is less than 1, but it is also greater than every real number less than one

 

αναφέρεται μάλιστα και στο entry του 0.999...

 

Number systems in which one or more of those assumptions hold can certainly be constructed, and in those systems 0.999 can be strictly less than 1. However, mathematics is most commonly performed using the real numbers, a number system in which those assumptions happen to be false.

 

έχει σημασία η λέξη happen.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

[bilco]

Ευχαριστώ για τις πηγές

The number 0.999... is not a Real Number. If you want to work with the Hyperreal numbers then it is a nonstandard number with real part 1. Yes, this number 0.999... is less than 1, but it is also greater than every real number less than one

Πάλι δεν καταλαβαίνω αφού στην wiki επίσης

In mathematics, the recurring decimal 0.999… , denotes a real number equal to 1.

Στους hyperreal που είναι επέκταση των πραγματικών δεν είναι πραγματικός. Στους πραγματικούς όμως (σε πραγματικούς νομίζω αναφερόμαστε από την αρχή αυτού του post) υπάρχει και είναι φυσικά είναι πραγματικός. Άρα γιατί να αναφερθούμε στους hyperreal;

[FarCry]

Ευχαριστώ για τις πηγές

 

Πάλι δεν καταλαβαίνω αφού στην wiki επίσης

 

Στους hyperreal που είναι επέκταση των πραγματικών δεν είναι πραγματικός. Στους πραγματικούς όμως (σε πραγματικούς νομίζω αναφερόμαστε από την αρχή αυτού του post) υπάρχει και είναι φυσικά είναι πραγματικός. Άρα γιατί να αναφερθούμε στους hyperreal;

 

επειδή οι hyperreal είναι extension τον real "γιαυτο" απάντησε ότι δεν είναι πραγματικός αλλα με πραγματικό μέρος το 1. γιατί οι real είναι υποσύνολο.

 

τώρα πιο σωστό είναι αυτό που ανέφερα προηγούμενος

 

The real numbers are either standard or nonstandard. An infinitesimal is a nonstandard real number which is less, in absolute value, than any positive standard real number

 

What standard and nonstandard refer to depends on the chosen context

 

έκανα αναφορά στους hyperreal για να δείξω ότι είναι σωστά και τα 2 ανάλογος πιο σύστημα χρησιμοποιείς. φαίνεται ότι η αντίληψη του ανθρώπου πηγαίνει στους hyperreals.

 

Fred Richman notes that taking Dedekind cuts in any dense subset of the rational numbers yields the same results; in particular, he uses decimal fractions, for which the proof is more immediate: "So we see that in the traditional definition of the real numbers, the equation 0.9* = 1 is built in at the beginning."

 

δηλαδή γίνεται όλος αυτός ο χαμός που καταλήγει σε αξιώματα τα οποια τα δέχεσαι η δε τα δέχεσαι απριόρι. όπως και με την ευκλείδεια γεωμετρία. από 2 σημεία περνάει μονο μια ευθεία. η το δέχεσαι η κανεις τι δίκια σου γεωμετρία όπως υπάρχουν ήδη. αυτά δεν αποδεικνύονται. είναι οι βάσεις του κάθε συστήματος. ο αρχιμήδης θεώρησε τους απειροελάχιστους αριθμούς ως μη υπαρκτους και τους απέκλεισε. τι να κάνουμε τώρα.

 

Ironically, Archimedes disbelieved in the existence of infinitesimals, and therefore said explicitly that his arguments fall short of being finished mathematical proofs.

[Xvipes]

μιας και διάβασα όλο το τόπικ πιστεύω ότι δικαιούμαι να γράψω και εγώ κάτι πάνω σε αυτό.

 

η γνώμη μου είναι 1ον ότι το 0.999... δεν είναι πραγματικός αριθμός άρα δεν μπορεί να γίνει πράξη με το 1 όπου είναι πραγματικός αριθμός και

 

2ον θεωρητικά(αν δεχτείς ότι μπορείς να κάνεις πράξεις με πραγματικούς και μη αριθμούς )ισχύει,αλλά πρακτικά δεν ισχύει μιας και πρακτικά δεν υπάρχει το άπειρο.

 

συμπέρασμα είναι τι προτιμάει ο καθένας.θεωρητικά ή πρακτικά?εγώ προτιμώ τα πρακτικά

 

p.s πόσα "9" έχουν γραφτεί σε αυτό το τόπικ

[takeda]

δείτε το

 

 

http://youtube.com/watch?v=FjKMhtyI3L8&v3

[johnnyestia]

2ον θεωρητικά(αν δεχτείς ότι μπορείς να κάνεις πράξεις με πραγματικούς και μη αριθμούς )ισχύει,αλλά πρακτικά δεν ισχύει μιας και πρακτικά δεν υπάρχει το άπειρο.

 

συμπέρασμα είναι τι προτιμάει ο καθένας.θεωρητικά ή πρακτικά?εγώ προτιμώ τα πρακτικά

 

Πρακτικά δεν υπάρχει ούτε η συνέχεια. Μήπως να καταργήσουμε τις συναρτήσεις και να πιάσουμε τις ακολουθίες?

[capitan]

χ=0.99999... ας πουμε 1000 9αρια.

10χ=9.999999... 999 9αρια

αρα 10χ-χ = 8.99999...991 και οχι 9

πράγμα που επιβεβαιώνει και την αρχική διατύπωση χ=0.999999... αν κάνουμε την πράξη χ=8.9999...991/9

[johnnyestia]

χ=0.99999... ας πουμε 1000 9αρια.

10χ=9.999999... 999 9αρια

αρα 10χ-χ = 8.99999...991 και οχι 9

πράγμα που επιβεβαιώνει και την αρχική διατύπωση χ=0.999999... αν κάνουμε την πράξη χ=8.9999...991/9

 

Εκεί που λές "ας πούμε", αντί για 1000 βάλε το άπειρο και πες και σε εμάς τι γίνεται.

[FarCry]

εμενα άλλο με προβλημάτισε κάτι το οποιο φαίνεται oti ήταν μερικώς λάθος.

 

νόμιζα ότι αφού το κάθε κλάσμα μπορεί να γραφει και σε δεκαδικi μορφή θα είναι αμφιμονοσήμαντο δηλαδή ένα προς ένα. εννοείται ότι έχουμε απλοποιήσει το κλάσμα.

 

φαίνεται τελικά ότι κάτι τέτοιο ισχύει εκτος από την ειδική περίπτωση του 999...

 

So in general the decimal representation is unique, if one excludes representations that end in a recurring 9.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal

 

από την άλλη γιατί έχω την εντύπωση ότι αυτό δεν μαθαίνεται στα σχολεια? εκτος και αν εγώ το έχω ξεχάσει

πως εξηγείται τόσα άτομα να πιστεύουν ότι δεν ισχύει ακόμα και άτομα που πάνε σε εξετάσεις του ΑΣΕΠ?

[capitan]

Εκεί που λές "ας πούμε", αντί για 1000 βάλε το άπειρο και πες και σε εμάς τι γίνεται.

 

Επειδή το απειρο σαν αριθμό δε μπορώ να το βάλω έστω ν ο αριθμος των ψηφίων του χ (το κλασματικό μέρος και με ν να τεινει στο απειρο). 10χ θα έχει ν-1 ψηφία.