0.99999.... = 1

[FarCry]

hyperreal number

 

Any of a colossal set of numbers, also known as nonstandard reals, that includes not only all the real numbers but also certain classes of infinitely large (see infinity) and infinitesimal numbers as well. Hyperreals emerged in the 1960s from the work of Abraham Robinson who showed how infinitely large and infinitesimal numbers can be rigorously defined and developed in what is called nonstandard analysis. Because hyperreals represent an extension of the real numbers, R, they are usually denoted by *R.

 

Hyperreals include all the reals (in the technical sense that they form an ordered field containing the reals as a subfield) and they also contain infinitely many other numbers that are either infinitely large (numbers whose absolute value is greater than any positive real number) or infinitely small (numbers whose absolute value is less than any positive real number). No infinitely large number exists in the real number system and the only real infinitesimal is zero. But in the hyperreal system, it turns out that that each real number is surrounded by a cloud of hyperreals that are infinitely close to it; the cloud around zero consists of the infinitesimals themselves. Conversely, every (finite) hyperreal number x is infinitely close to exactly one real number, which is called its standard part, st(x). In other words, there exists one and only one real number st(x) such that x st(x) is infinitesimal.

 

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/H/hyperreal_number.html

[desolatorXT]

Το ξαναλέω...

 

Έχουμε ένα μήλο ολόκληρο (δηλαδη 1)...

 

Σε κάθε δαγκωνια τρώω το 9/(10^ν) όπου ν ο αριθμός των δαγκωνιών που έχω κάνει.

 

Οπότε κάθε φορα από την προηγούμρνη ποσότητα του μήλου αφαιρείτε η ποσοτητα 9/(10^ν). και μένει η ποσότητα 1/(10^ν)

 

έτσι στην πρωτη δαγκωνια θα μεινει το 1-(9/10)=0.1 του μήλου, και θα φύγει 0.9.

στην δεύτερη δαγκωνιά θα αφαιρεθει το 9/100 δηλαδή το 0,09 από το 0.1 που είχαμε , οπότε θα μείνει 0.01 μήλο.

στην τρίτη φορά θα αφαιρεθεί το 9/(10^3) δηλαδή το 0.009 από το 0.01 μήλου που είχαμε, δηλαδή θα απομείνει 0.001 μήλο κ.ο.κ

 

Αυτό συνεχίζετε συνεχώς για άπειρες δαγκωνίες οπότε το συνολικο ποσό που θα αφαιρείτε απο το μήλο είναι 0.999.... (προσθέτοντας τις ποσότητες που αφαιρούνται κάθε φορά θα έχουμε 0.9 +0.09+0.009+... δηλαδή 0.999....)

 

εφόσον το ν πρόκειτε για δαγκωνίες πέρνει τις τιμές 1,2,3,.... δηλαδή ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών.(Ν) {και μας δείχνει πόσα δεκαδικά φηφία έχει κάθε φορά το 0.999...}

 

Για να τελειώσουμε κάποια στιγμή το φάγωμα του μήλου (μήλο(1)-τα κομμάτια που φάγαμε(0.999...)=0) πρέπει το κομμάτι του μήλου που έμεινε στο τέλος να είναι ίσο με το 0.

Δηλαδή να υπάρχει ν=χ τέτιο ώστε 1/(10^χ) = 0 πραγμα που δεν ισχύει για κανένα χ Ε R

Εάν τώρα χ=άπειρο, ο μόνος τρόπος για να χωρίσουμε το 1 σε άπειρα κομμάτια είναι να το χωρίσουμε σε μηδενικά κομμάτια. Οπότε το οτι 1=0.999... ισχύει μόνο εαν δεχτούμε ότι 1 δια άπειρο ισούται με μηδέν. Όταν όμως γίνετε μια διαίρεση θα πρέπει κατόπιν προσθέτοντας όλα τα κομματια στα οποία διαιρέσαμε το 1 να μας κάνουν 1, σε όσα όμως μηδενικά κομμάτια και αν χωρίσουμε το 1, το άθροισμα αυτών των κομματιών θα είναι 0 και όχι 1.

 

Επίσης δεν μπορεί να δωθεί στο χ μια τιμή όπως το άπειρο επειδή άκριβως το άπειρο είναι κάτι το οποίο δεν ορίζεται και δεν είναι ένα πεπερασμένος αριθμος.

 

Από την άλλη πάλι αν θεωρήσουμε ότι υπάρχει αυτό το χ, τότε θα πρέπει

1-Σ(9/10^ν)(ν=1 -> χ) = 1/10^χ (εφόσον 0=1/(10^χ))

1-1/10^χ=Σ(9/10^ν)

((10^χ)-1)/(10^χ) = Σ(9/10^ν)

 

καταλήγουμε λοιπόν σε κάτι διαφορετικό απο αυτό το οποίο ξεκινήσαμε... Στο ότι 0.999...=1 ενώ παράλληλα 0.999...=((10^χ)-1)/(10^χ), με το 1 διάφορο του ((10^χ)-1)/(10^χ)

 

 

Τα συμπεράσματα δικά σας... εγώ μπορώ να πω ότι περρισότερο μπερδεύτικα παρά το ξεδιάλινα

 

Και τώρα που το ξανασκέφτομαι, το τονισμένο κομμάτι πρέπει να είναι η απόδειξη για το ότι είναι αδύνατο το 1=0.999...

[Pablo_Hasan]

καμια σχεση, σταματα να γραφεις

 

αμα δεν το καταλαβαινεις δεν πειραζει...

[desolatorXT]

καμια σχεση, σταματα να γραφεις

 

αμα δεν το καταλαβαινεις δεν πειραζει...

 

οκ πες μου που είναι το λάθος...

 

Είναι πολύ απλό να βγώ κ εγώ και να πω ότι λες μαλακίες χωρίς να πώ τπτ άλλο...

[johnnyestia]

desolatorXT, εδώ έχεις κάνει λάθος στις πράξεις. Στο τονισμένο κομμάτι, πώς προκύπτει το πρώτο μέλος της τρίτης γραμμής από το πρώτο μέλος της δεύτερης?

 

Το συγκεκριμένο θέμα που συζητάμε έπεσε στις εξετάσεις του ΑΣΕΠ στον κλάδο των μαθηματικών. Εκεί μάλιστα ήταν δεδομένο πως 1,2333333333...=1,24 , και ζητούμενο από τους υποψήφιους καθηγητές μέσης εκπαίδευσης ήταν να αναπτύξουν μέθοδο διδασκαλίας. Αρκετοί βέβαια μπερδεύτηκαν και είπαν πως δεν ισχύει.

 

Και για να μπερδέψω ακόμα περισσότερο αυτούς που ανακατεύονται σε έννοιες πραγματικής ανάλυσης με γνώσεις αριθμητικής, θα πώ και αυτό:

 

Για κάθε πραγματικό αριθμό χ που ανήκει στο διάστημα (1, άπειρο) , υπάρχει και ένας αριθμός ψ=1/χ που ανήκει στο (0,1). Οπότε τα δύο αυτά διαστήματα έχουν ίσο μέγεθος και περιέχουν ιδιες ποσότητες (άπειρων) πραγματικών αριθμών.

 

Πώς σας φαίνεται?

[desolatorXT]

desolatorXT, εδώ έχεις κάνει λάθος στις πράξεις. Στο τονισμένο κομμάτι, πώς προκύπτει το πρώτο μέλος της τρίτης γραμμής από το πρώτο μέλος της δεύτερης?

 

Το συγκεκριμένο θέμα που συζητάμε έπεσε στις εξετάσεις του ΑΣΕΠ στον κλάδο των μαθηματικών. Εκεί μάλιστα ήταν δεδομένο πως 1,2333333333...=1,24 , και ζητούμενο από τους υποψήφιους καθηγητές μέσης εκπαίδευσης ήταν να αναπτύξουν μέθοδο διδασκαλίας. Αρκετοί βέβαια μπερδεύτηκαν και είπαν πως δεν ισχύει.

 

Και για να μπερδέψω ακόμα περισσότερο αυτούς που ανακατεύονται σε έννοιες πραγματικής ανάλυσης με γνώσεις αριθμητικής, θα πώ και αυτό:

 

Για κάθε πραγματικό αριθμό χ που ανήκει στο διάστημα (1, άπειρο) , υπάρχει και ένας αριθμός ψ=1/χ που ανήκει στο (0,1). Οπότε τα δύο αυτά διαστήματα έχουν ίσο μέγεθος και περιέχουν ιδιες ποσότητες (άπειρων) πραγματικών αριθμών.

 

Πώς σας φαίνεται?

 

από το 1-(1/(10^χ))=...

πήγα στο ((10^χ)/(10^χ))-(1/(10^χ))=..

 

α ναι σωστός... έλεος... είναι ((10^χ)-1)/(10^χ)=Σ(9/(10^χ))

και πάλι όμως όπως βλέπεις καταλήγουμε σε κάτι διαφορετικό απο αυτό το οποίο ξεκινήσαμε... Στο ότι 0.999...=1 ενώ παράλληλα 0.999...=((10^χ)-1)/(10^χ), με το 1 διάφορο του ((10^χ)-1)/(10^χ)

 

Οπότε παρά εκείνο το λάθος, η απόδειξη νομίζω ότι συνεχίζει να ισχύει, εκτός και αν κάποιος βρεί κάποιο άλλο λάθος στην όλη λογική...

 

Υ.Γ. μαλακία μου εκείνη η πράξη όντως )

 

Υ.Γ.2. κάνω edit και το πιο πάνω ποστ...

[FarCry]

ρε παιδιά μη το κουράζεται. έδωσα την απάντηση.

 

στους πραγματικούς αριθμούς 0.99999.... =1

 

αφού το αξίωμα του αρχιμήδη δεν αφήνει την ύπαρξη του 0.999..

 

στους hyperreal που είναι υπερσύνολο τον πραγματικόν

 

0.99999..../=1

 

άντε τελειώσαμε

[desolatorXT]

ρε παιδιά μη το κουράζεται. έδωσα την απάντηση.

 

στους πραγματικούς αριθμούς 0.99999.... =1

 

αφού το αξίωμα του αρχιμήδη δεν αφήνει την ύπαρξη του 0.999..

 

στους hyperreal που είναι υπερσύνολο τον πραγματικόν

 

0.99999..../=1

 

άντε τελειώσαμε

 

έχω την εντύπωση ότι αυτό που λέω είναι σωστό και πως και στους πραγματικούς αποδείχτηκε ότι 0.999.../=1

 

Υ.Γ. ΑΝ ειναι τελικα λάθος σόρρυ μη με φάτε, αλλά περιμένω όποιον υποστηρίξει πως είναι λαθος όλα αυτά π λέω να πει και το γιατί...

[kkardo91]

Αν μου αποδείξεις ότι αυτό που κάνεις ισχύει για όλους τους αριθμούς θα το πιστέψω...(τουλάχιστον εγώ).

 

Τι εννοείς για όλους τους αριθμούς; Η πρώτη απόδειξη δεν σε έπεισε αν δεν σε έπεισε η δεύτερη;; :neutral:

[FarCry]

Τι εννοείς για όλους τους αριθμούς; Η πρώτη απόδειξη δεν σε έπεισε αν δεν σε έπεισε η δεύτερη;; :neutral:

 

βασικά μπερδεύτηκε ήθελε να πει ότι ακόμα και να είναι hyperreal να ισούται με 1.

 

αλλα αυτό είναι αδύνατον γιατί οι hyperreal δημιουργήθηκαν για αυτό το σκοπό γιατί δεν ισχύει το αξίωμα του αρχιμήδη ώστε να γίνει δυνατή η ύπαρξη τέτοιον αριθμόν

 

"γιαυτο" καλύτερα να τονίσετε ότι μιλάτε για τους πραγματικούς αριθμούς στις αποδείξεις

 

ότι ανήκουν στο R

[andreapaog328]

για την δεύτερη σου λέω. Μαθηματική επαγωγή...αν μια πρόταση ισχύει για έναν αριθμό και για τον επόμενό του τότε ισχύει για όλους τους αριθμούς.

[Sellers]

για την δεύτερη σου λέω. Μαθηματική επαγωγή...αν μια πρόταση ισχύει για έναν αριθμό και για τον επόμενό του τότε ισχύει για όλους τους αριθμούς.

 

Δεν πάει έτσι ακριβώς...

 

''Για να ισχύει μια πρόταση για όλους τους αριθμούw δείχνυμε ότι ισχύει για τον αριθμό 1. Υποθέτουμε ότι ισχύει για έναν τυχαίο αριθμό n και αποδεικνύουμε ότι ισχύει για n+1...''

[kkardo91]

Δεν πάει έτσι ακριβώς...

 

''Για να ισχύει μια πρόταση για όλους τους αριθμούw δείχνυμε ότι ισχύει για τον αριθμό 1. Υποθέτουμε ότι ισχύει για έναν τυχαίο αριθμό n και αποδεικνύουμε ότι ισχύει για n+1...''

 

Όχι για τον αριθμό 1 αλλά για την μικρότερη τιμή της παράστασης....αν δν κάνω λάθος....το 1 το χρησιμοποιούμε όταν παίζει σε όλο το R....:neutral:

[Sellers]

Όχι για τον αριθμό 1 αλλά για την μικρότερη τιμή της παράστασης....αν δν κάνω λάθος....το 1 το χρησιμοποιούμαι όταν παίζει σε όλο το R....:neutral:

 

Μπορεί να είναι κι'αυτό... Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος...

[andreapaog328]

Όχι για τον αριθμό 1 αλλά για την μικρότερη τιμή της παράστασης....αν δν κάνω λάθος....το 1 το χρησιμοποιούμαι όταν παίζει σε όλο το R....:neutral:

 

έτσι ακριβώς. αλλά ξεφύγαμε απο το θέμα