Greg7vas Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Προσέχετε τα γραφόμενά σας μερικοί γιατί εκτείθεστε. Το θέμα έχει συζητηθεί και από πτυχιούχους μαθηματικούς εδώ: http://www.edra.gr/phpbb2/viewtopic.php?t=2811 Ε και τι ειναι αυτο?Δε λεει τιποτα παραπανω απο οσα ειπαμε εδω. Kαι η wikipedia,την οποια γενικως δε θα πρεπει να διαβαζετε χωρις καχυποψια λεει οτι και οι καθηγητες πανεπιστημιου ειναι μοιρασμενοι. Ειπα και πρωτυτερα οτι δε μιλαμε για ισες ποσοτητες. Ισχυει η ασυμπτωτικη ισοτητα ομως οχι η εξισωση των 2 ποσοτητων. the end... http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm
-nick- Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Μέλος Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 http://qntm.org/pointnine FACT: For any two different real numbers, you can pick a third number which is between them. So, if 0.9999... and 1.0000... were different numbers, then it would be possible to find a number which was between them. But it's impossible to write out the decimal expansion of a number between 0.9999... and 1.0000... . Therefore, they cannot be different numbers. Therefore, they are the same number. FACT: If the difference between two numbers is zero, then they are equal. For example, 5 - 5 = 0 because 5 = 5. The difference between 1.0000... and 0.9999... is: 1.0000... - 0.9999... = 0.0000... = 0 Therefore, they are equal. "At that first step, you're already assuming 1 = 0.9999...." No I'm not, I'm just doing a simple subtraction. Work it out yourself if you like. "But 0.0000... should have a 1 at the end!" No, it shouldn't. "0.0000...1" is meaningless. The "..." means the zeros go on forever. "Forever" means "without end". There IS no end for the final 1 to go on. Limit argument FACT: A sequence can only have one limit. Observe that the limit of the sequence 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 ... is 0.9999... That is, the sequence gets closer and closer to 0.9999..., in fact, infinitely close. But the sequence also gets closer and closer to 1.0000..., in fact, infinitely close. So 1.0000... is a limit of this sequence too. But a sequence can only have one limit, so 0.9999... and 1.0000... must be the same. Lastly, consider this There are NO proofs that 0.9999... and 1 are different numbers. Anywhere. "0.9999... and 1 are obviously different numbers." Not good enough. Intuition counts for nothing. In mathematics, proof is everything, and "obvious" means "a proof springs immediately to mind". Please PROVE that 0.9999... and 1 are not equal. Without proof, no hunch, feeling, or intuition is worth anything. "1 and 0.9999... are written differently, therefore they are different numbers." There are many ways of writing ANY number. You could write 1/1, or 2/2, or 9/9, or 2-1, or 1.0, or 1.00, or 1.0000... or any number of other expressions, and all of them ultimately have the same meaning, "one". "0.9999... is a concept, not a number." All numbers are concepts. Some numbers, like 1, have stronger links to reality than others, but we are looking at mathematics here, not the real world. If you're going to throw away numbers which can't concretely exist, then you're throwing away pi, e, i, zero, and, frankly, almost all of mathematics. "There is a rounding error. 0.9999... and 1 are approximately equal." Do you see any rounding or approximation going on around here? That only happens when you stop counting after a certain number of decimal digits. But I have kept and counted every single one of the infinitely many decimal digits in my proofs. No rounding, no error. "0.9999... gets closer and closer to 1, but never reaches it." Closer and closer? How can it be getting closer and closer? It's one number! Try the limit argument, above. "0.9999... is a decimal representation of infinity, not a number." Well, how come it's DEFINITELY bigger than 0.5 and smaller than 2? FACT: Just because something has infinitely many pieces doesn't mean it's infinite. Zeno figured this out 2500 years ago. "I still don't believe it, and I'm entitled to my own opinion." Mathematics is unlike regular science in that we can actually prove things, permanently, for real, instead of just finding increasing amounts of evidence supporting our hypotheses. That's why we have what we call "theorems" instead of theories. That point nine recurring equals one is just such a theorem (although it's so easy that it's barely worth the name). You aren't in a position to argue or debate about it. It's a fact. Your opinion is wrong. You are entitled to be wrong, I suppose, but if you do intend to refuse to listen to clear, patient, accurate reasoning then I must request that you please distance yourself from any future discussions that you may encounter on this topic, for the benefit of everybody who is actually interested in the subject. A lengthy, rigorous proof by contradiction FACT: If your lines of reasoning are correct, but the conclusion you arrive at is definitely wrong, there must be something wrong with your assumptions. Clearly 0.9999... ≤ 1. Assume 0.9999... ≠ 1 (*). Then 0.9999... < 1, so there must be some positive number P so that 0.9999... + P = 1. But for ANY positive P, 0.9999... + P > 1, which is a contradiction, and definitely wrong. Therefore we are forced to conclude that the assumption (*) was incorrect, that is: 0.9999... = 1
Lucifer Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Με αυτό το σκεπτικό, το 0,99999999999998 είναι ίσο με το 0.99999? άκυρο, είμαι κλαζμένος, τώρα έπιασα το άπειρο θινγκ κ πως με εμποδίζει.
FarCry Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 μια παρατήρηση για τα κομπιουτεράκια θα κάνω. το δικό μου κομπιουτεράκι. το (1/3)*3 μου το βγάζει 1 όπως ανέφεραν κάποιοι. ως εδώ όλα καλά. όμως παρατήρησα κάτι και μπορείτε να το ελέγξετε. το (1/3)*10=3.33333... όμως το (1/6)*10=1.6666666666667 ΓΙΑΤΊ?
dark_banishing Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Και στις δύο περιπτώσεις κάνει στρογγυλοποίηση, απλά το 3 παραμένει 3, αφού έχει τριάρια από πίσω του, ενώ το 6 με εξάρια από πίσω του γίνεται 7.
FarCry Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 και τοτε γιατι δεν κανει στρογγυλοποιηση στο 1/6 και το κανει στο (1/6)*10? το 1/6=0.166666666666
dark_banishing Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Καταρχήν τώρα που το βλέπω πρέπει να έχει χαλάσει το κομπιουτεράκι σου γιατί 1/6 = 0,1666666....
FarCry Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Καταρχήν τώρα που το βλέπω πρέπει να έχει χαλάσει το κομπιουτεράκι σου γιατί 1/6 = 0,1666666.... εντάξει ένα λάθος κάναμε. 1/6 = 0,16666666666 αυτό ήθελα να γράψω δεν εμφανίζει 1/6 = 0,16666666667 κάνει επιλεκτική στρογγυλοποίηση?
johnnyestia Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Έχει να κάνει με την ακρίβεια των ψηφίων κατά την επεξεργασία τους με το κομπουτεράκι. Το 7άρι υπάρχει, απλά δεν το εμφανίζει στο κατράν σου την πρώτη φορά. Δοκίμασε με το calculator των windows και δες πως εκεί εμφανίζει 1/6=0,16666666666666666667 Μην παίρνεις τα κομπουτεράκια σοβαρά σε τέτοια ζητήματα.
desolatorXT Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Άλλο παράδοξο σχετικό με το θέμα. Στον calculator των Windows: Το 1/3 το γράφει ως 0,33333333333333333 με κάποιον πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. κάνοντας επί 3 το αποτέλεσμα αυτό σου βγάζει ως τελικό αποτέλεσμα 1 Εάν πληκτρολογήσεις όμως το 0,33333333333333333 ακριβώς με τον ίδιο αριθμό ψηφίων όσα είχε πρίν (όσα "χωράει" ο calculator δηλαδή) και το πολλαπλασιάσεις με 3, τότε το αποτέλεσμα είναι 0,99999999999999
FarCry Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Έχει να κάνει με την ακρίβεια των ψηφίων κατά την επεξεργασία τους με το κομπουτεράκι. Το 7άρι υπάρχει, απλά δεν το εμφανίζει στο κατράν σου την πρώτη φορά. Δοκίμασε με το calculator των windows και δες πως εκεί εμφανίζει 1/6=0,16666666666666666667 Μην παίρνεις τα κομπουτεράκια σοβαρά σε τέτοια ζητήματα. ναι τελικα εχεις δικιο. αναρωτιεμαι ομως γιατι εκαναν ετσι το calculator. κανονικά έπρεπε να ελέγχει τον αριθμό τον ψηφίων που μπορεί να εμφανίσει και όχι να κόβει ψηφία λόγο περιορισμένου χορού εμφάνισης. κατασκευαστικό πρόβλημα τις casio Άλλο παράδοξο σχετικό με το θέμα. Στον calculator των Windows: Το 1/3 το γράφει ως 0,33333333333333333 με κάποιον πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. κάνοντας επί 3 το αποτέλεσμα αυτό σου βγάζει ως τελικό αποτέλεσμα 1 Εάν πληκτρολογήσεις όμως το 0,33333333333333333 ακριβώς με τον ίδιο αριθμό ψηφίων όσα είχε πρίν (όσα "χωράει" ο calculator δηλαδή) και το πολλαπλασιάσεις με 3, τότε το αποτέλεσμα είναι 0,99999999999999 αυτό δεν είναι παράδοξο. απλά την πρώτη φορα με το 1/3 το calculator το βλέπει ως 0.3333... ενώ τι δεύτερη φορα επειδή εσύ γραφεις τα ψηφία το παίρνει ως πεπερασμένο
desolatorXT Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 O calculator (απ' όσο γνωρίζω) δουλέυει σειριακά, δηλαδή, δεν θυμάται την προηγούμενη πράξη που έκανα. Απλώς έχει την δυνατότητα να κρατήσει το αποτέλεσμα αυτής της προηγούμενης πράξης για να συνεχίσουμε. Επίσης έχει έναν συγκεκριμένο αριθμό ψηφίων που μπορεί να κρατήσει, οπότε δεν νομίζω ότι μπορεί να αποθηκεύσει έναν αριθμό όπως το 0.999... (και αν το έκανε τότε γιατί δεν εμφανίζονται οι 3 τελείες στο αρχικό αποτέλεσμα?). Οπότε τους 2 αριθμούς θα έπρεπε να τους αναγνωρίζει σαν ίσους, γ αυτό το ανέφερα, αν δουλεύει διαφορετικά τότε οκ, πάω πάσο
johnnyestia Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Καμία υπολογιστική μηχανή στον κόσμο δεν μπορεί να αναπαραστήσει σε δεδομένα έναν περιοδικό ή άρρητο αριθμό. Απλά σε τέτοια σημεία ακρίβειας το κάθε κομπιουτεράκι συμπεριφέρεται διαφορετικά, ανάλογα με τα bit αναπαράστασης των αριθμών που το έχουν κατασκευάσει να δουλεύει. Ούτως ή άλλως τέτοια ακρίβεια σπανιότατα έχει πρακτικό ενδιαφέρον.Ειδικά δε για ακρίβεια σε απειροστό ψηφίο, που συζητάμε και εμείς εδώ, το ενδιαφέρον είναι καθαρά "φιλοσοφομαθηματικό".
FarCry Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 O calculator (απ' όσο γνωρίζω) δουλέυει σειριακά, δηλαδή, δεν θυμάται την προηγούμενη πράξη που έκανα. Απλώς έχει την δυνατότητα να κρατήσει το αποτέλεσμα αυτής της προηγούμενης πράξης για να συνεχίσουμε. Επίσης έχει έναν συγκεκριμένο αριθμό ψηφίων που μπορεί να κρατήσει, οπότε δεν νομίζω ότι μπορεί να αποθηκεύσει έναν αριθμό όπως το 0.999... (και αν το έκανε τότε γιατί δεν εμφανίζονται οι 3 τελείες στο αρχικό αποτέλεσμα?). Οπότε τους 2 αριθμούς θα έπρεπε να τους αναγνωρίζει σαν ίσους, γ αυτό το ανέφερα, αν δουλεύει διαφορετικά τότε οκ, πάω πάσο το 0.333333 στη πρώτη περίπτωση είναι το αποτέλεσμα μιας πράξης στη δεύτερη το βάζεις εσύ ως input. είναι εύκολο να ελέγξεις αν το 0.3333 εισάγεται η προκύπτει ως αποτέλεσμα. αυτό είναι θέμα προγραμματισμού τις εφαρμογής.
FarCry Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 Δημοσ. 10 Ιουλίου 2007 βρηκα αυτο εδω. φαινεται οτι το 0.9999....*0.9999....=0.9999... A King wrote: I'm back with yet another question I can't answer... 999... * 999...=?? I got its like 44999...55, but thats impossible, b/c there is never a place for the 5's. So, would that make it simply 44999... , or am I going at this all wrong? Well, first off, this "999..." thing is nonsensical. Its value, if it could be ascribed one, would just be "infinity" (as in, "it's an infinitely large number"). Using different numerals like "876534..." would get us the same result of "an infinitely large number". The only way I could maybe see the use of these is in some special area of mathematics that deals with different sized infinities (which would be based on completely different axioms than what our standard number system is based upon). And before you or someone else tries to change the rules by switching over to this other area of mathematics in an attempt to prove your confused argument; please understand that you would then also have to abandon everything else you take for granted (like the notion that 1+1=2). I don't think you're ready for that kind of a mind-twist (nor am I). In other words, this has nothing whatsoever to do with whether 1 = 0.999... at all. Assuming that what you typed was caused by a mind-blank, let me rewrite your argument: 0.999... x 0.999... = ? Now, I could just take the easy route and simply state that since "1 = 0.999..." (as I've already shown before): 0.999... x 0.999... = 1 x 0.999... = 0.999... = 1 = 1.000... but that's obviously not what you want me to demonstrate. So here's the long, convoluted version. Now, still assuming that you're asking for me to do the following equation: **0.999... x 0.999... ------------- I will break this into separate components that will all be added back together at the end. Since 0.999... can be expressed as the geometric series "0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +...", let's multiply each of those components by 0.999...: **0.999... x 0.900... ------------- *0.81 *0.081 *0.0081 *0.00081 *0.000081 . .. ... *0.0000000... ------------------ *0.8999999999.... = 0.900... and **0.9999... x 0.0900... ------------- *0.081 *0.0081 *0.00081 *0.000081 *0.0000081 . .. ... *0.0000000... ------------------ *0.08999999999.... = 0.0900... and **0.99999... x 0.00900... ------------- *0.0081 *0.00081 *0.000081 *0.0000081 *0.00000081 . .. ... *0.0000000... ------------------ *0.008999999999.... = 0.00900... and so on and so forth... Yeah, I hope you recognize how the pattern goes. Anyway, let's try adding the multiplied components up: *0.89999999... *0.08999999... *0.00899999... *0.00089999... *0.00008999... . .. ... +0.00000000... -------------------- Eeek! Guess I'll have to break even this one down a bit. Let's add one row at a time, shall we? Here are the first two rows added together: *0.89999999... +0.08999999... ------------------ Let's see...since we know that there are only 9s from the 1000th place onward to the right for both rows, we can reaarange this from "(0.89 + 0.00999...) + (0.08 + 0.00999...)" to "(0.89 + 0.08) + (0.00999... + 0.00999...)". So, broken down: *0.89 +0.08 -------- *0.97 and *0.00999... +0.00999... ------------ *0.01999... = 0.00999... x 2 (Remember the "0.999... x 3" thing? Same stuff.) And then we add the two results together: *0.97000000... +0.01999999... ------------- *0.98999999... Phew! First two rows done. Now to add the third row (look back if you've lost track of what we were originally doing): *0.98999999... +0.00899999... --------------- Okay, repeat of what we did in the previous steps, except this time it's from the 10000th place: *0.989 +0.008 --------- *0.997 and *0.000999... +0.000999... ------------ *0.001999... = 0.000999... x 2 Which added together would be: *0.99700000... +0.00199999... ------------- *0.99899999... Adding fourth row: *0.99899999... +0.00089999... --------------- You should know the procedure by now: *0.9989 +0.0008 --------- *0.9997 and *0.00009999... +0.00009999... ------------ *0.00019999... = 0.0000999... x 2 Which added together would be: *0.99970000... +0.00919999... ------------- *0.99989999... Fifth row: *0.99989999... +0.00008999... --------------- *0.99998999... Okay, so I skipped typing out the work here, but this comment is getting way too long. Just to refresh your (and my) memory, this is what the 0.999... x 0.999... equation looked like when converted it into an addition equation: *0.89999999... *0.08999999... *0.00899999... *0.00089999... *0.00008999... . .. ... +0.00000000... -------------------- I then started adding up the rows one by one (albeit I started by adding the first two rows). The results of each addition are as follows: 1st row: 0.89999999... 2nd row added: 0.98999999... 3rd row added: 0.99899999... 4th row added: 0.99989999... 5th row added: 0.99998999... 6th row added: 0.99999899... etc. Well, the pattern should be obvious here, with that "8" going further to the right with the addition of each row. And since this pattern will go on without end, the result would be: *0.89999999... *0.08999999... *0.00899999... *0.00089999... *0.00008999... . .. ... +0.00000000... -------------------- *0.99999999... And thus I show that 0.999... x 0.999... = 0.999.... Go me!
Προτεινόμενες αναρτήσεις
Αρχειοθετημένο
Αυτό το θέμα έχει αρχειοθετηθεί και είναι κλειστό για περαιτέρω απαντήσεις.