0.99999.... = 1

[galil]

Παιδιά, μην τρελαθούμε. Αυτή η "απόδειξη" είναι καθαρά θέμα σύμπτωσης κ μαλαγανιάς.Δεν ισχύει με τίποτα 1=0.9999999. Μάλιστα είχα δει κάπου αλλή μια παρόμοια "απόδειξη" οτι 1+1=3.

 

Τώρα για το που είναι το λάθος και βγαίνει αυτό, είναι όπως είπαν κ αρκετοί στο οτι αφαίρεση με τη μεταβλητή δεν υπάρχει, αφαίρεση άπειρων αριθμών επίσης δεν είναι αξιόπιστη πράξη και τέλος το 1/3 δεν κάνει 0.3333333. Κάνει 1/3.Είναι δυο ξεχωριστοί αριθμοί.

[-nick-]

Παιδιά, μην τρελαθούμε. Αυτή η "απόδειξη" είναι καθαρά θέμα σύμπτωσης κ μαλαγανιάς.Δεν ισχύει με τίποτα 1=0.9999999. Μάλιστα είχα δει κάπου αλλή μια παρόμοια "απόδειξη" οτι 1+1=3.

 

Τώρα για το που είναι το λάθος και βγαίνει αυτό, είναι όπως είπαν κ αρκετοί στο οτι αφαίρεση με τη μεταβλητή δεν υπάρχει, αφαίρεση άπειρων αριθμών επίσης δεν είναι αξιόπιστη πράξη και τέλος το 1/3 δεν κάνει 0.3333333. Κάνει 1/3.Είναι δυο ξεχωριστοί αριθμοί.

 

 

Σορρυ, ο αριθμος 0.3333... συμβολίζει τον 1/3 , ειναι ακριβως ο ιδιος αριθμος.

 

Στις αποδειξεις του στυλ 1+1 = 3 η 1 = 0 κλπ παιζει καποιο ατοπο βημα (π.χ διαιρεση με ορο που δεν ξερουμε αν ειναι μη μηδενικος)

[Praetorian]

lol. Φυσικά και δεν ισχύει.

Το προφανές θα ήταν η απόδειξη με την εις άτοπο απαγωγή.

 

αν 1 = 0.99999999....

τότε 2 = 1+ 1 = 0.99999999.... + 0.99999999.... = 1.9999999999....8

Ομοιως 3 = 3 x 0.99999999.... = 2.9999999999....7

 

Οπότε τότε θα είχαμε μια "ισότητα" όπου

1 = 0.9999....9 = 0.9999....8 = 0.99999....7 που προφανώς δεν ισχύει

 

*edit λάθος μου*

 

Εκτός βέβαια και αν πάμε με το τυπικό από την θεωρία:

lim x (όταν το x τείνει στο 1 από τα αριστερά) (ή όταν το x τείνει στο 1 από δεξιά) = 1

[-nick-]

lol. Φυσικά και δεν ισχύει.

Το προφανές θα ήταν η απόδειξη με την εις άτοπο απαγωγή.

 

αν 1 = 0.99999999....

τότε 2 = 1+ 1 = 0.99999999.... + 0.99999999.... = 1.9999999999....8

Ομοιως 3 = 3 x 0.99999999.... = 2.9999999999....7

 

Οπότε τότε θα είχαμε μια "ισότητα" όπου

1 = 0.9999....9 = 0.9999....8 = 0.99999....7 που προφανώς δεν ισχύει

 

δεξιά) = 1

 

Δες λιγο παραπανω ρε συ 0.99999... + 0.9999 = 1.999999... = 2

 

δεν υπαρχει αριθμος 1.999999....8 γιατι σημαινει οτι υπαρχουν απειρα 9αρια και μετα ενα 8αρι.. αφου ειναι απειρα (ατελειωτα τα 9αρια) το 8 αρι δεν μπαινει ποτε , οποτε 1.9999.... ειναι το αποτελεσμα της προσθεσης που εκανες ...

[Praetorian]

Τότε nick αναφέρεσαι σε lim. Οπότε είναι κάτι που κατα σύμβαση ισχύει.

Πιο σωστά

lim (1 - 1/x) με x να τείνει στο άπειρο, είναι κατα σύμβαση 1.

[Ather]

Αυτή η σύμβαση λοιπόν, η αλλιώς αξίωμα που λέει ότι το άπειρο δεν είναι πραγματικός αριθμός και ότι άπειρο + 1 = άπειρο, είπαμε δεν είναι πραγματικός αριθμός, όπως για παράδειγμα ο αριθμός i όπου i^2 = -1 μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε σωστά ολοκληρώματα, παραγώγους κλίσεις και εμβαδά επιφανειών καθώς και τη σύνθετη αντίσταση σε ένα κύκλωμα. Οι υπολογισμοί αυτοί συνάδουν με την καθημερινή εμπειρία και τις μετρήσεις μας. Θυμάστε για τα είδη γεωμετριών που υπάρχουν ανάλογα με το πόσες παράλληλες ευθείες από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε σε μία ευθεία; Αν συμφωνείτε με τα μαθηματικά που έχετε διδαχθεί τότε ναι το topic thread είναι αληθές.

[Praetorian]

Μόνο που σε "κανονικά" μαθηματικά δε θα δούμε ποτέ το 0.9999.... ως συμβολογραφία σε πράξεις/εξισώσεις/τύπους κλπ.

 

Θα δούμε το lim. Και μόνο με αυτή την αποτύπωση είναι αληθές το αρχικό post του topic.

[-nick-]

Μόνο που σε "κανονικά" μαθηματικά δε θα δούμε ποτέ το 0.9999.... ως συμβολογραφία σε πράξεις/εξισώσεις/τύπους κλπ.

 

Θα δούμε το lim. Και μόνο με αυτή την αποτύπωση είναι αληθές το αρχικό post του topic.

 

Θα το δεις , είναι επίσημα αποδεκτό & εδραιωμένο.

[Praetorian]

Θα ήθελα να δω μια απόδειξη γι'αυτό...

[gus]

Μπορεί κάποιος απο αυτούς που υποστηρίζουν αυτή τη θεωρία να μου υποδείξει μια εφαρμογή όπου χρησιμοποιείται? Δε σχολιάζω το αν είναι χρήσιμη ή οχι, απλά αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάπου.

[-nick-]

Θα ήθελα να δω μια απόδειξη γι'αυτό...

 

Ε, έχω λυσσάξει να το λέω

 

http://en.wikipedia.org/wiki/0.9

 

In mathematics, the recurring decimal 0.999… , which is also written as 0.\bar{9} , 0.\dot{9} or \ 0.(9), denotes a real number equal to 1. In other words, "0.999…" represents the same number as the symbol "1". The equality has long been accepted by professional mathematicians and taught in textbooks. Various proofs of this identity have been formulated with varying rigour, preferred development of the real numbers, background assumptions, historical context, and target audience.

 

 

The meaning of "…" (ellipsis) in 0.999… must be precisely specified. The use here is different from the usage in language or in 0.99…9, in which the ellipsis specifies that some finite portion is left unstated or otherwise omitted. When used to specify a recurring decimal, "…" means that some infinite portion is left unstated. In particular, 0.999… indicates the limit of the sequence (0.9,0.99,0.999,0.9999,…) (or, equivalently, the sum of all terms of the form 9 × 0.1k for integers k=1 to infinity). Misinterpreting the meaning of 0.999… accounts for some of the misunderstanding about its equality to 1.

 

There are many proofs that 0.999…=1. Before demonstrating this using algebraic methods, consider that two real numbers are identical if and only if their (absolute) difference is not equal to a positive (third) real number. Given any positive value, the difference between 1 and 0.999… is less than this value (which can be formally demonstrated using a closed interval defined by the above sequence and the triangle inequality). Thus the difference is 0 and the numbers are identical. This also explains why 0.333… = 1⁄3, etc.

[Zderg]

Πάντως η εννοια του απείρου δεν υπάρχει πουθενα στην φυση.. Όλα είναι πεπερασμενα.. Όπως είπε και ο Αινσταιν "Δύο πράγματα είναι απεραντα, το σύμπαν και η ηλιθιότητα. Και για το πρώτο δεν είμαι σιγουρος.". Άρα το να θεωρουμε οτι το 0.999.... έχει απειρα εννιαρια είναι κάτι απλα θεωρητικό και αποτελει μια συμβαση.

[Pablo_Hasan]

Μπορεί κάποιος απο αυτούς που υποστηρίζουν αυτή τη θεωρία να μου υποδείξει μια εφαρμογή όπου χρησιμοποιείται? Δε σχολιάζω το αν είναι χρήσιμη ή οχι, απλά αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάπου.

αν εχεις ενα παλιο κομπιουτερακι και κανεις 1 / 3 = 0,3.. και μετα αυτο *3 θα σου δωσει 0,9.. ενα καινουργιο θα σου δωσει παλι 1.

Η εφαρμογη των οριων στην πρακτικη αριθμητικη βοηθαει να αποφευγονται τετοια μικρολαθη και να πετυγχανεται μεγαλυτερη ακριβεια στο αποτελεσμα.

Ακριβεια που ειναι απαραιτητη οταν πχ. μελετας την κατασκευη μιας γεφυρας...

[Praetorian]

Κατ'αρχήν σε εκείνο το link της wikipedia έχει και την απόδειξη μέσω του lim την οποία ανέφερα παραπάνω (εκεί έχει το 1/10^n με n να τείνει στο άπειρο).

 

Θα μπορούσε κανείς να πει ότι το lim είναι ένας αριθμός τελικά και αυτό στην προκειμένη περίπτωση είναι το 1. Ομως προφανώς υπάρχει λόγος που χρησιμοποιείται το lim ή η κλασματική μορφή ενός αριθμού αντι της πραγματικής του αναπαράστασης και αυτό στη δική μου λογική (και σίγουρα στη λογική κάθε υπολογιστικής μηχανής που έχει πεπερασμένη ακρίβεια) τουλάχιστο σημαίνει ότι μπορεί ένας αριθμός να τείνει σε κάτι, αλλά ποτέ δεν θα γίνει κάτι. Μπορούμε όμως σχεδόν στο 99.9 (άνω dash στο 9 )% των περιπτώσεων -και ίσως σε λιγότερες- να τον εξισώσουμε με "ασφάλεια". Εξαιρούνται περιπτώσεις που θα εξαρτηθούν ανθρώπινες ζωές απο αυτό ... (!)

 

That said, καθώς τα μαθηματικά είναι ένα σύνολο απο αξιώματα και συμβάσεις και ένα σωρό παραδοχές, ένας μπορεί να αποδείξει πολλά πράγματα που θα ισχύουν σε ένα βασίλειο χωρίς καμια απτή αξία.

[-nick-]

Πάντως η εννοια του απείρου δεν υπάρχει πουθενα στην φυση.. Όλα είναι πεπερασμενα.. Όπως είπε και ο Αινσταιν "Δύο πράγματα είναι απεραντα, το σύμπαν και η ηλιθιότητα. Και για το πρώτο δεν είμαι σιγουρος.". Άρα το να θεωρουμε οτι το 0.999.... έχει απειρα εννιαρια είναι κάτι απλα θεωρητικό και αποτελει μια συμβαση.

 

Ο χρόνος, είναι άπειρος?

Το σύμπαν?

Κανείς δεν μπορεί να πει με σιγουριά ..