problhma me pi8anothtes

[Pablo_Hasan]

exw ena problhma, kai opoia boh8eia 8a htan polutimh.

Dialegoume enan tuxaio ari8mo, estw a, anamesa sto {0,..,n-1}, opou oloi oi ari8moi exoun ish pi8anothta.

 

deikse oti P(megistos koinos diaireths (a, n) > 1 ) >= 2/root(n) - 1/n

 

 

den prokeite gia ergasia pou prepei na paradwsw h kati tetoio, apla einai mia askhsh pou exei mpei palia se diagwnisma kai den mporw na thn lusw...

[Pablo_Hasan]

kapws proxwrhsa, an mporei na boh8hsei kaneis apo dw kai katw...

 

Pn [ΜΚΔ (a, n) = 1] = Φ(n)/n = (n*Πi=1,i=l(1 - 1/Pi)/n) / n

 

ΜΚΔ (a, n) > 1 = 1 - Pn [ΕΚΔ (a, n) = 1] = 1 - (n*Πi=1,i=l(1 - 1/Pi)/n) / n

 

prepei na deiksw oti (n*Πi=1,i=l(1 - 1/Pi)/n) / n >= 2/root(n) - 1/n

 

 

 

8a katalabete kalutera, an to grapsete se ena xarti...

[geopoul]

ΕΚΔ????

Ο ελάχιστος κοινός διαιρέτης δύο φυσικών είναι πάντα 1 γι αυτό και δεν έχει νόημα και χρησιμότητα ως έννοια. Από την ισότητα

Pn [ΕΚΔ (a, n) = 1] = Φ(n)/n

συμπεραίνω ότι αναφέρεσαι στο ΜΚΔ για το οποίο όμως η δοθείσα ανισότητα δεν ισχύει, πχ για n πρώτο.

[Pablo_Hasan]

wx, mperdeuthka, MKD ennooousa

 

giati den isxuei??

[Pablo_Hasan]

gia n prwto h Φ(n) = n -1, opote 2/n >= 2/root(n) isxuei...

[geopoul]

gia n prwto h Φ(n) = n -1' date=' opote 2/n >= 2/root(n) isxuei...

[/quote']

 

2/n >= 2/root(n) ????

 

Από πότε ισχύει αυτό?

[No_Nam3]

2/n >= 2/root(n) ????

 

Από πότε ισχύει αυτό?

 

Αν η συνάρτηση root(x) δίνει την τετραγωνική ρίζα του x, τότε αυτό:

2/n >= 2/root(n)

 

ισχύει για n=1

[Sta]

Αν η συνάρτηση root(x) δίνει την τετραγωνική ρίζα του x' date=' τότε αυτό:

2/n >= 2/root(n)

 

ισχύει για n=1[/quote']

 

Και εφόσον κάναμε την υπόθεση ότι ο n είναι πρώτος, δεν ισχύει για κανένα φυσικό. Μήπως η ανισότητα είναι ανάποδα;

[smilefreeware]

Από περιέργεια, σε τι σχολή ήταν αυτή η άσκηση ?

Υπάρχει και αυτό ΜΚΔ(α,β)*ΕΚΠ(α,β)=α*β μήπως βοηθήσει.

[No_Nam3]

Και εφόσον κάναμε την υπόθεση ότι ο n είναι πρώτος, δεν ισχύει για κανένα φυσικό. Μήπως η ανισότητα είναι ανάποδα;

 

Μα δεν είναι ανισότητα, αλλά ανισοϊσότητα.

Για n=1, έχουμε(αν η συνάρτηση root(x) δίνει την τετραγωνική ρίζα του x):

 

2/1 >= 2/root(1) <=> 2 >= 2

 

που προφανώς ισχύει

[Pablo_Hasan]

nai gia n=1 isxuei gia 2,3,... den isxuei

 

profanws h apodeiksh 8elei xrhsh perissoterwn 8ewrhmatwn, ktl, se kana duo meres an brw thn lush 8a postarw...

[powerfty]

Exw tin entypwsi pws h anisotita einai, opws leei kai o Sta, anapoda. Diladi prepei na isxyei 2/n <= 2/root(n).

 

Gia n >= 1 exoume n >= root(n) opote 1/n <= 1/root(n) kai 2/n <= 2/root(n) kati pou isxyei afou n != 0. Asxoloumai kai egw me tin lusi kai elpizw mexri avrio na exw apantisi.

[Pablo_Hasan]

oxi h anisothta etsi einai opws thn exw grapsei...

 

ekei pou den eimai kai polu sigouros einai sto an

 

Pr [ΜΚΔ (a, n) = 1] = Φ(n)/n -> Pr [ΜΚΔ (a, n) > 1] = 1 - Φ(n)/n

 

isxuei...

[powerfty]

Einai lathos i anisotita 2/n >= 2/root(n). Kane dokimes kai monos sou kai tha to deis pws den isxyei. Isws exei kapoio lathos i ekfwnisi h den tin antegrapses swsta.

 

Pn [ΜΚΔ (a' date= n) = 1] = Φ(n)/n -> Pn [ΜΚΔ (a, n) > 1] = 1 - Φ(n)/n

 

to apopanw fainetai pws isxyei giati h pithanotita o gcd(a,n) na einai megaluteros tis monadas isoutai me 1 meion tin pithanotita o gcd(a,n) na einai mikroteros h isos tis monadas, kai afou kati tetoio gia na exei noima sto pedio twn fysikwn ginetai: 1 meion pithanotita gcd(a,n) iso me ti monada.

 

Stin apopanw sxesi an ypotheseis pws n einai prwtos kai kaneis prakseis kai xrisimopoihseis tin anisotita pou dineis tote ftaneis se adynato opote h anisotita exei antitheti fora. Sygkekrimena:

1 - (n-1)/n = 1/n >= 2/root(n) - 1/n --> 2/n >= 2/root(n) Adunato!

opote h anisotita einai anapoda alliws den exoun noima oi prakseis.

[geopoul]

Η αρχική σχέση είναι ισοδύναμη με την παρακάτω:

φ(n)/n <= 1 + 1/n - 2/sqrt(n)

Η σχέση όμως αυτή διαψέυδεται από άπειρα το πλήθος n όπως σημείωσα παραπάνω (για n πρώτο).

 

Αν υπότεθεί ότι η αρχική ανισότητα έχει την ανάποδη φορά τότε θα είναι ισοδύναμη με:

φ(n)/n >= 1 + 1/n - 2/sqrt(n)

που δεν ισχύει και πάλι για απειρα το πλήθος n: το φ(n)/n μπορεί να πάει οσοδήποτε κοντά στο 0 ενώ το 1 + 1/n - 2/sqrt(n) είναι bounded away από το 0 για n>=2.