forum με μαθηματικα;

[Luxx]

Τώρα το είδα αυτό και απαντάω με καθυστέρηση. Πρέπει να ξέρεις ότι από το γεγονός ότι: οι συναρτήσεις είναι αντίστροφες και ότι η μία εξ αυτών δεν τέμνει την y=x' date=' δε συνάγεται αυτόματα ότι δεν τέμνονται και οι γραφικές των αρχικών συναρτήσεων. Για να έχει ισχύ η μέθοδός σου, πρέπει να παρουσιάσεις μία στέρεη και φορμαλιστική απόδειξη. Στην προκειμένη περίπτωση μπορεί αυτό που λες να είναι τουλάχιστον διαισθητικά σωστό, αλλά πίστεψε με υπάρχουν περιπτώσεις ξεφεύγουν από τα συνηθισμένα και εξαπατούν τη διαίσθησή μας.

 

Για αυτό και σου προτείνω πάντα να λύνεις τις ασκήσεις σου εξάγοντας συμπεράσματα από θεωρήματα και γνωστές μεθόδους και όχι βασιζόμενος στη γεωμετρική εποπτεία. Μόνο έτσι θα είσαι σίγουρος ότι οι αποδείξεις σου δεν παρουσιάζουν κενά. Τα παραπάνω σου τα λέω φιλικά επειδή και εγώ κάποτε υπήρξα "υποψήφιος" στις Πανελλήνιες, που -κακά τα ψέμματα- είναι ένας διαγωνισμός που δεν επιτρέπει και πολλές πρωτοτυπίες.[/quote']

νομιζω οτι κανεις λαθος. αν δυο συναρτησεις ειναι αντιστροφες τοτε θα ειναι συμμετρικες ως προς την ευθεια y = x. για να δειξουμε οτι οι 2 συναρτησεις δεν εχουν κοινα σημεια μπορουμε να λυσουμε το συστημα. οταν ομως το συστημα των 2 συναρτησεων ειναι δυσκολο να λυθει, οπως για παραδειγμα y = lnx και y = e^x τοτε μπορουμε να λυσουμε το συστημα μια απο αυτων με την y = x. ετσι αναλογα με το τι θα δειξει το συστημα αυτο θα μας δειχνει αναλογα και τα κοινα σημεια ή οχι των 2 συναρτησεων. το λεει και ενα βοηθημα που εχω. ετσι ειπε και ο καθηγητης των μαθηματικων που κανω μαθημα και ειναι πολυ καλος.

 

τωρα μολις που κοιταξα ενα βιβλιο δειχνει τις lxn και e^x. ειναι συμμετρικες ως προς την y = x Και δεν εχουν μεταξυ τους κανενα κοινο σημειο οταν x > 1 , ενω ειναι συμμετρικες μεταξυ τους και εχουν ενα κοινο σημειο, το οποιο μαλίστα ειναι και κοινο σημειο και μεταξυ των συναρτησεων και της ευθειας για 0 < x < 1.

 

 

* μπορει καποιος Mod να αλλαξει τον τιτλο σε καποιον πιο καταλληλο; *

[Sta]

μαλιστα. δλδ θα πω οτι εστω οτι υπαρχουν 3 ριζες. θα παρω F(x1) = F(x2) = F(x3) = 0 και μετα οτι υπαρχουν ξ1 , ξ2 τετοια ωστε F'(ξ1) = F'(ξ2) = 0, ατοπο αφου η εξισωση 8x^7 - 7 = 0 εχει μια μονο ριζα. σωστα;

 

με την δευτερη παραγωγο πως ακριβως θα το εκανα;

 

Σωστά, αυτή είναι η λύση με ξ1 Ε (x1,x2), ξ2 Ε (x2,x3). Πηγαίνοντας στη δεύτερη παράγωγο δε βλέπω λύση.

 

νομιζω οτι κανεις λαθος. αν δυο συναρτησεις ειναι αντιστροφες τοτε θα ειναι συμμετρικες ως προς την ευθεια y = x. για να δειξουμε οτι οι 2 συναρτησεις δεν εχουν κοινα σημεια μπορουμε να λυσουμε το συστημα. οταν ομως το συστημα των 2 συναρτησεων ειναι δυσκολο να λυθει, οπως για παραδειγμα y = lnx και y = e^x τοτε μπορουμε να λυσουμε το συστημα μια απο αυτων με την y = x. ετσι αναλογα με το τι θα δειξει το συστημα αυτο θα μας δειχνει αναλογα και τα κοινα σημεια ή οχι των 2 συναρτησεων. το λεει και ενα βοηθημα που εχω. ετσι ειπε και ο καθηγητης των μαθηματικων που κανω μαθημα και ειναι πολυ καλος.

 

Μάλιστα, δηλαδή υποστηρίζεις ότι όλα τα σημεία τομής δύο αντιστρόφων συναρτήσεων είναι πάνω στην ευθεία y=x;

 

τωρα μολις που κοιταξα ενα βιβλιο δειχνει τις lxn και e^x. ειναι συμμετρικες ως προς την y = x Και δεν εχουν μεταξυ τους κανενα κοινο σημειο οταν x > 0 , ενω ειναι συμμετρικες μεταξυ τους και εχουν ενα κοινο σημειο, το οποιο μαλίστα ειναι και κοινο σημειο και μεταξυ των συναρτησεων και της ευθειας για 0 < x < 1.

 

Μάλλον δεν διατύπωσες σωστά αυτό που εννοούσες. Οι συναρτήσεις: e^x και lnx x>0, δεν έχουν κανένα κοινό σημείo. Eίναι επίσης συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x, επειδή είναι αντίστροφες. Σε όλα αυτά συμφωνώ, μάλιστα σου είχα προτείνει μία άλλη λύση πιο πάνω για να αποδείξεις ότι δεν τέμνονται.

[Luxx]

Μάλιστα, δηλαδή υποστηρίζεις ότι όλα τα σημεία τομής δύο αντιστρόφων συναρτήσεων είναι πάνω στην ευθεία y=x;

δεν ξερω. λαθος ειναι;

 

Μάλλον δεν διατύπωσες σωστά αυτό που εννοούσες. Οι συναρτήσεις: e^x και lnx x>0, δεν έχουν κανένα κοινό σημείo

για 0 < x < 1 εχουν ενα κοινο σημειο. για x > 1 δεν εχουν. εγραψα καταλαθος για x > 0.

[Sta]

δεν ξερω. λαθος ειναι;

 

Ναι' date=' π.χ. θεώρησε τις συναρτήσεις:

 

f(x)= { -2x+2, x<0, -x+2, 0<=x<=2, -4x+8, x>2 }

 

και

 

g(x) = { -0.25x+2, x<0, -x+2, 0<=x<=2, -0.5x+1, x>2}

 

Είναι αντίστροφες, τέμνονται πάνω στον y=x, στο σημείο (1,1), αλλά δεν είναι το μοναδικό σημείο τομής τους. Τέμνονται επίσης σε όλα τα σημεία της μορφής (i, 2-i), 0<=i<=2, αυτό το βλέπεις και μόνος σου αφού οι δύο συναρτήσεις ταυτίζονται σε αυτό το διάστημα. Με τη μέθοδό σου δηλαδή βρήκες ένα σημείο, αλλά ξέχασες άπειρα.

 

Επίσης, οι συναρτήσεις:

 

h(x) = {(1,2), (2,1), (3,5)} και φ(x) = { (1,2), (2,1), (5,3) } είναι αντίστροφες, δεν τέμνονται πάνω στον y=x, αλλά έχουν δύο άλλα κοινά σημεία όπως βλέπεις.

 

για 0 < x < 1 εχουν ενα κοινο σημειο. για x > 1 δεν εχουν. εγραψα καταλαθος για x > 0.

 

Οι συναρτήσεις: e^x και lnx, δεν έχουν κανένα κοινό σημείο για x>0.

[gefst2005]

www.coolmaths4kids.com

[Luxx]

h(x) = {(1,2), (2,1), (3,5)} και φ(x) = { (1,2), (2,1), (5,3) } είναι αντίστροφες, δεν τέμνονται πάνω στον y=x, αλλά έχουν δύο άλλα κοινά σημεία όπως βλέπεις.

γιατι ειναι αντιστροφες;

 

οριστε αυτο που ελεγα :

 

 

 

 

για να ισχυει αυτο που λεω πρεπει να ειναι συνεχης σε ολο το R. δεν ξερω τωρα τι παιζει με τις κλαδωτες συναρτησεις.

 

 

βεβαια οντως η e^x δεν εχει κανενα κοινο σημειο με την lnx.. ηθελα να πω την a^x.

[Sta]

γιατι ειναι αντιστροφες;

 

Γιατί ικανοποιούν τον ορισμό των αντιστρόφων.

 

οριστε αυτο που ελεγα :

 

 

 

 

για να ισχυει αυτο που λεω πρεπει να ειναι συνεχης σε ολο το R. δεν ξερω τωρα τι παιζει με τις κλαδωτες συναρτησεις.

 

Στο πρώτο παράδειγμά που σου έδειξα οι συναρτήσεις είναι συνεχείς αν και πολύκλωνες. Το "πολύκλωνη" δε διαφοροποιεί καθόλου μία συνάρτηση από τις άλλες.

 

βεβαια οντως η e^x δεν εχει κανενα κοινο σημειο με την lnx.. ηθελα να πω την a^x.

 

Σωστόν.

[Luxx]

Μια ασκηση λεει :

 

Δινει η συναρτηση F(x) = ημ(x^2) για x#0 και F(x) = 0 για x=0. Να βρεθει η παραγωγος της F.

 

Εγω βρηκα οτι F'(x) = ( 2x^2συνx^2 - ημx^2 ) / x^2 για x#0

 

και F'(x) = -1 για χ=0, αφου απεδειξα οτι παραγωγιζεται στο σημειο 0.

 

Μου φανηκαν λιγο παραξενα τα νουμερα για δευτερο θεμα, για αυτο την βαζω εδω να μου πειτε αν τα βρηκα σωστα..

[Theoxaris]

Μια ασκηση λεει :

 

Δινει η συναρτηση F(x) = ημ(x^2) για x#0 και F(x) = 0 για x=0. Να βρεθει η παραγωγος της F.

 

Εγω βρηκα οτι F'(x) = ( 2x^2συνx^2 - ημx^2 ) / x^2 για x#0

 

και F'(x) = -1 για χ=0' date=' αφου απεδειξα οτι παραγωγιζεται στο σημειο 0.

 

Μου φανηκαν λιγο παραξενα τα νουμερα για δευτερο θεμα, για αυτο την βαζω εδω να μου πειτε αν τα βρηκα σωστα..[/quote']

 

Για x#0 η F'(x) = 2xσυν(x^2)

Για x=0 η F'(x) = 0

 

και επειδή είναι δίκλαδη πας με πλευρικά όρια στο 0 και δείχνεις ότι είναι ίσα.

Άρα ορίζεται η παράγωγος και στο σημείο 0.

[Luxx]

αποκλειεται να βγαινει τοσο η παραγωγος για X#0. πρεπει να εκανες del' hospital και οχι τον τυπο με τις παραγωγους.. διαιρεση 2 συναρτησεων ειναι.

 

[φ(χ)/ψ(χ)]' = [φ'(χ)ψ(χ) - ψ'(χ)φ(χ)] / ψ^2(χ) ειναι ο τυπος!

[Theoxaris]

αποκλειεται να βγαινει τοσο η παραγωγος για X#0. πρεπει να εκανες del' hospital και οχι τον τυπο με τις παραγωγους.. διαιρεση 2 συναρτησεων ειναι.

 

[φ(χ)/ψ(χ)]' = [φ'(χ)ψ(χ) - ψ'(χ)φ(χ)] / ψ^2(χ) ειναι ο τυπος!

 

Η συνάρτηση που μου έδωσες είναι η ημίτονο του χ τετράγωνο. Δεν έχει πουθενά διαίρεση συναρτήσεων. Συνεπώς δεν χρειάζεται να εφαρμόσω αυτό που λες. Η συνάρτηση που μου έδωσες είναι σύνθεση των συναρτήσεων:

 

g(x)=ημx και h(x)=x^2 άρα η f(x)=g(h(x))=ημ(x^2).

 

Συνεπώς για να βρεις την παράγωγο της f(x) αφού είναι σύνθεση θα εφαρμόσεις το εξής:

 

f'(x)=[g(h(x))]'=g'(h(x))h'(x)

 

Αυτό σημαίνει η παράγωγος της αρχικής συνάρτησης επί την παράγωγο της σύνθεσης.

 

Άρα f'(x)=[ημ(x^2)]'=συν(x^2)(x^2)'=συν(x-2)(2x).

 

 

Για ότι άλλο χρειαστείς, εδώ θα είμαι.

[geovard]

Γιατί ικανοποιούν τον ορισμό των αντιστρόφων.

 

 

 

Στο πρώτο παράδειγμά που σου έδειξα οι συναρτήσεις είναι συνεχείς αν και πολύκλωνες. Το "πολύκλωνη" δε διαφοροποιεί καθόλου μία συνάρτηση από τις άλλες.

 

 

 

Σωστόν.

 

Νομίζω λιγο μπερδεμένα τα έχεις τα πράγματα με τις αντίστροφες.

Πού ικανοποιούν τον ορισμό των αντιστρόφων?

Η απαίτηση είναι σαφής.Η f(x) έχει αντίστροφη αν είναι 1-1 καί 'επι'.

Το 'επι' ήταν παλιότερος χαρακτηρισμός καί δήλωνε ότι f(A)=B

Δεν γεννάται θέμα αν κάπου είναι ασυνεχείς η αν είναι πολύκλωνες.

Ένα είναι βέβαιο.Άν η μιά τέμνει την ψ=χ σε κάποιο σημείο τότε οπωσδήποτε καί η αντίστροφή της θα διέρχεται από το ίδιο σημείο.

Τα είπα καί ησύχασα.Περνάω την τάξη?

[Luxx]

πως λυνεται αυτο το οριο;

 

Lim F(x) [ ln(2x) - lnx ] οταν το x τεινει στο 0+

 

F(0)=1 και το αποτελεσμα βγαινει ln2. αλλα πως θα το κανω; πρεπει να βγαλω την απροσδιοριστια, αλλα πως;

 

επισης σε μια αλλη ασκηση μου ζηταει να αποδειξω οτι η εξισωση F'(x) = 1 εχει μοναδικη ριζα. τα παω στο πρωτο μελος και θετω συναρτηση G(x). το προβλημα ειναι οτι εχω δοκιμασει bolzano,rolle, μονοτονια + 0 € συνολο τιμων αλλα τιποτα δεν γινεται. επισης προσπαθησα να αποδειξω οτι G'(x) = σταθερη ή οτι G''(x) = 0, αλλα τιποτα!!! τι αλλο μπορω να κανω; λεω και την ασκηση, αλλα δεν θελω να μου πειτε πως να την λυσω, απλως πως να κανω μια αρχη..

 

δινεται F^3(x) + F(x) = x^3 + ax^2 + bx + v με a^2 < 3b

 

a) Να μελετηθε ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα, που βγαινει οτι F'(x) > 0 στο IR οποτε F(x) > 0

 

και

 

αν v = 0 και a+b = 1 να δειξετε οτι η εξισωση F'(x) = 1 εχει μοναδικη ριζα.

 

 

Η συνάρτηση που μου έδωσες είναι η ημίτονο του χ τετράγωνο. Δεν έχει πουθενά διαίρεση συναρτήσεων. Συνεπώς δεν χρειάζεται να εφαρμόσω αυτό που λες. Η συνάρτηση που μου έδωσες είναι σύνθεση των συναρτήσεων:

εγω εκανα λαθος. η συναρτηση ειναι F(x) = ημ(x^2)/x για x#0 και F(x) = 0 για x=0.

[Luxx]

pls οποιος ξερει, ας δωσει τα φωτα του!!

[geovard]

πως λυνεται αυτο το οριο;

 

Lim F(x) [ ln(2x) - lnx ] οταν το x τεινει στο 0+

 

F(0)=1 και το αποτελεσμα βγαινει ln2. αλλα πως θα το κανω; πρεπει να βγαλω την απροσδιοριστια' date=' αλλα πως;

 

επισης σε μια αλλη ασκηση μου ζηταει να αποδειξω οτι η εξισωση F'(x) = 1 εχει μοναδικη ριζα. τα παω στο πρωτο μελος και θετω συναρτηση G(x). το προβλημα ειναι οτι εχω δοκιμασει bolzano,rolle, μονοτονια + 0 € συνολο τιμων αλλα τιποτα δεν γινεται. επισης προσπαθησα να αποδειξω οτι G'(x) = σταθερη ή οτι G''(x) = 0, αλλα τιποτα!!! τι αλλο μπορω να κανω; λεω και την ασκηση, αλλα δεν θελω να μου πειτε πως να την λυσω, απλως πως να κανω μια αρχη..

 

δινεται F^3(x) + F(x) = x^3 + ax^2 + bx + v με a^2 < 3b

 

a) Να μελετηθε ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα, που βγαινει οτι F'(x) > 0 στο IR οποτε F(x) > 0

 

και

 

αν v = 0 και a+b = 1 να δειξετε οτι η εξισωση F'(x) = 1 εχει μοναδικη ριζα.

 

 

εγω εκανα λαθος. η συναρτηση ειναι F(x) = ημ(x^2)/x για x#0 και F(x) = 0 για x=0.[/quote']

 

Κοίτα πάρα πολλοί ξέρουν να σε βοηθήσουν αλλά δεν θα το κάνουν γιατί εσύ έψαχνες γιά φόρουμ Μαθηματικών ενώ εδώ πρόκειται γιά Φόρουμ Τεχνολογίας.'Επειτα τα Μαθηματικά διακρίνονται γιά την ακρίβεια στην διατύπωση πού σε σένα δεν την βλέπω έτσι όπως διατυπώνεις τα θέματά σου.Παράδείγματος χάριν δεν βλέπω το λόγο γιατί να μη γράψεις στη θέση τού ln(2x)-lnx=ln(2x/x)=ln2.

Έπειτα θα πρέπει να λες κάτι γιά την συνέχεια στο 0 ώστε limf(x)=f(0)=1 όταν χ->0+

Άρα limf(x)lim(ln2)=1ln2=ln2.

Τέλος πάντων δεν γίνεται δουλειά έτσι.Θα σού τα πούν στο Φροντιστήριο.