forum με μαθηματικα;

[Sta]

Αυτές οι συναρτήσεις είναι αντίστροφες, και ως γνωστόν οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=x. Μάλιστα τυχαίνει κιόλας, η e^x να είναι πάνω από τον άξονα αυτό και η lnx να είναι κάτω από αυτόν, οπότε προφανώς και δεν τέμνονται. Δηλαδή, το μόνο που έχεις να κάνεις είναι να αποδείξεις ότι e^x>x και lnx<x, x>0. Αυτό γίνεται κατά τα γνωστά θεωρώντας τις συναρτήσεις: f(x)=e^x-x και g(x)=lnx-x και να κάνεις έπειτα μελέτη προσήμου τους, μέσω των παραγώγων τους-μονοτονίας, κάτι που είναι πολύ απλό.

[Luxx]

ναι, αλλα ετσι θα βρω το προσημο της παραγωγου και οχι των συναρτησεων.

[Sta]

Δεν κατάλαβες μάλλον. Π.χ.: f(x)=e^x-x, f'(x)=e^x-1>0 για x>0. Οπότε, f(x) γνησίως αύξουσα. Άρα, f(x)>f(0)=1>0, δηλαδή: f(x)>0<=>e^x>x, x>0.

[Diomedes]

Το θέμα είναι απλό και συνάμα σύνθετο. Λύνεται πολύ εύκολα αν σκεφτείς λίγο "πλάγια". Δηλ. ακολουθείς τα εξής βήματα:

1. Αποδεικνύεις ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι συμμετρικές ως προς την

ψ = χ (τουτέστιν αντίστροφες)

2. Αποδεικνύεις ότι μία από αυτές (όποια θέλεις) δεν τέμνει την ψ = χ

3. Με απλή γεωμετρία ολοκληρώνεις την απόδειξή σου.

 

Μην περιμένεις προκοπή με συμβατικές μεθόδους του στυλ "ας βρούμε που τέμνονται, αν τέμνονται λύνοντας την εξίσωση ψ1 = ψ1". Τα μαθηματικά δεν είναι απλή λογική (αυτό το ισχυρίζονται μόνο όσοι είναι ημιμαθείς ή παντελώς άσχετοι με το θέμα (κι ας έχουν τελειώσει μαθηματικό ορισμένοι).

 

Πάντως αν θες τίποτα άλλο, στείλε μου PM.

[Luxx]

παντως δεν καταλαβαινω τι θα γινει αποδεικνυοντας οτι η μια ειναι μεγαλυτερη του χ και η αλλη μικροτερη του χ;

[Sta]

Αφού e^x>x και lnx<x, θα είναι: lnx<x<e^x <=> lnx<e^x, άρα πώς είναι δυνατό να τέμνονται; Μάλιστα, αρκεί να αποδείξεις το e^x>x, αφού η συμμετρική συνάρτηση της e^x: lnx ως προς την y=x, θα είναι υποχρεωτικά κάτω από την y=x. Είναι σχετικά απλό.

[Luxx]

το lnx<x δεν μπορω να βγαλω. μου βγαινει lnx<x-1

 

αυτο με τις αντιστροφες μου φανηκε πιο ευκολο..

[Sta]

Μελέτη συνάρτησης πρέπει να κάνεις, δεν είναι δύσκολο και αυτό. Θα θεωρήσεις τη συνάρτηση h(x)=x-lnx. Με την πρώτη παράγωγό της θα βρεις πως έχει ελάχιστο στο x=1, με h(1)>0, οπότε είναι h(x)>=1>0<=>x>lnx.

[Luxx]

τελικα την ελυσα με τον τροπο που ειπε ο diomedes. απεδειξα οτι ειναι αντιστροφες και μετα οτι μια απο αυτες δεν τεμνει την y=x.

[Luxx]

να ρωτησο κατι που μπορει να φανει και λιγο χαζο. εαν ισχυει για την παραγωγο της F(x) οτι ειναι μεγαλυτερη του 5 πχ, μπορουμε να πουμε οτι ειναι και μεγαλυτερη του μηδενος, αρα και F(x) γνησιως αυξουσα. δλδ αν F'(x) > 5 τοτε F(x) γνησιως αυξουσα.

[Luxx]

επισης μηπως αυτη η ασκηση εχει καποιο λαθος :

 

να δειχνει οτι δεν εχει περισσοτερες απο δυο ριζες στο R η εξισωση x^8 - 7x - 6 = 0

 

μηπως επρεπε να πει στο R* ; ωστε ενα παρουμε την δευτερη παραγωγο που βγαινει 56x^6 = 0 να βγει ατοπο..

 

Ευχαριστω.

[Sta]

να ρωτησο κατι που μπορει να φανει και λιγο χαζο. εαν ισχυει για την παραγωγο της F(x) οτι ειναι μεγαλυτερη του 5 πχ, μπορουμε να πουμε οτι ειναι και μεγαλυτερη του μηδενος, αρα και F(x) γνησιως αυξουσα. δλδ αν F'(x) > 5 τοτε F(x) γνησιως αυξουσα.

 

Ναι, μπορείς ασφαλώς να το πεις: F'(x)>5>0 => F'(x)>0 => F γνησίως αύξουσα.

[Sta]

επισης μηπως αυτη η ασκηση εχει καποιο λαθος :

 

να δειχνει οτι δεν εχει περισσοτερες απο δυο ριζες στο R η εξισωση x^8 - 7x - 6 = 0

 

μηπως επρεπε να πει στο R* ; ωστε ενα παρουμε την δευτερη παραγωγο που βγαινει 56x^6 = 0 να βγει ατοπο..

 

Ευχαριστω.

 

Αν αποδείξεις ότι έχει λιγότερες από 2 ρίζες στο R*, τότε επειδή το 0 δεν είναι ρίζα έχεις και λιγότερες από δύο ρίζες στο R. Δεν είναι ανάγκη να εξαιρέσεις το 0 όμως, έτσι δε θα μπορείς να εφαρμόσεις και το θεώρημα που χρησιμοποιείς μάλλον.

 

Hint: Δεν είναι ανάγκη να φτάσεις μέχρι τη δεύτερη παράγωγο. Η πρώτη σου δίνει την πληροφορία (για το άτοπο) που χρειάζεσαι, κοίτα πόσες ρίζες έχει.

[Sta]

τελικα την ελυσα με τον τροπο που ειπε ο diomedes. απεδειξα οτι ειναι αντιστροφες και μετα οτι μια απο αυτες δεν τεμνει την y=x.

 

Τώρα το είδα αυτό και απαντάω με καθυστέρηση. Πρέπει να ξέρεις ότι από το γεγονός ότι: οι συναρτήσεις είναι αντίστροφες και ότι η μία εξ αυτών δεν τέμνει την y=x, δε συνάγεται αυτόματα ότι δεν τέμνονται και οι γραφικές των αρχικών συναρτήσεων. Για να έχει ισχύ η μέθοδός σου, πρέπει να παρουσιάσεις μία στέρεη και φορμαλιστική απόδειξη. Στην προκειμένη περίπτωση μπορεί αυτό που λες να είναι τουλάχιστον διαισθητικά σωστό, αλλά πίστεψε με υπάρχουν περιπτώσεις ξεφεύγουν από τα συνηθισμένα και εξαπατούν τη διαίσθησή μας.

 

Για αυτό και σου προτείνω πάντα να λύνεις τις ασκήσεις σου εξάγοντας συμπεράσματα από θεωρήματα και γνωστές μεθόδους και όχι βασιζόμενος στη γεωμετρική εποπτεία. Μόνο έτσι θα είσαι σίγουρος ότι οι αποδείξεις σου δεν παρουσιάζουν κενά. Τα παραπάνω σου τα λέω φιλικά επειδή και εγώ κάποτε υπήρξα "υποψήφιος" στις Πανελλήνιες, που -κακά τα ψέμματα- είναι ένας διαγωνισμός που δεν επιτρέπει και πολλές πρωτοτυπίες.

[Luxx]

μαλιστα. δλδ θα πω οτι εστω οτι υπαρχουν 3 ριζες. θα παρω F(x1) = F(x2) = F(x3) = 0 και μετα οτι υπαρχουν ξ1 , ξ2 τετοια ωστε F'(ξ1) = F'(ξ2) = 0, ατοπο αφου η εξισωση 8x^7 - 7 = 0 εχει μια μονο ριζα. σωστα;

 

με την δευτερη παραγωγο πως ακριβως θα το εκανα;